macodwr.pdf

(52 KB) Pobierz
373676576 UNPDF
Wyznaczaniemacierzyodwrotnej
Zadanie1.Wyznacz macierz odwrotn , a do macierzy
−2 3
−4 7
A=
.
= (−2)·7−(−4)·3 =−2, czyli det(A) =−2 6= 0, wi , ecA −1 istnieje.
Teraz wyznaczamy dopelnienia algebraiczne wszystkich wyrazow macierzyA:
d 11 = (−1) 1+1 ·7 = 7,d 12 = (−1) 1+2 ·(−4) = 4,
d 21 = (−1) 2+1 ·3 =−3,d 22 = (−1) 2+2 ·(−2) =−2.
−2 3
−4 7
7 4
−3−2
Tworzymy macierz dopelnienD=
. Zatem macierz , a odwrotn , a do macierzyAjest macierz
7−3
4−2
det(A) ·D T = (− 1 2 )·
, czyli ostatecznie
A −1 =
− 7 2 3 2
−2 1
.
Zadanie2.Wyznacz macierz odwrotn , a do macierzy
2
3
2 5 7
6 3 4
5−2−3
A=
4
5 .
Rozwi , azanie.Obliczamy najpierw wyznacznik macierzyA:
2 5 7
6 3 4
5−2−3
2 5
6 3
5−2
det(A) =
=−18 + 100−84−105 + 16 + 90 =−1, czyli det(A) =−1 6= 0, wi , ec
A −1 istnieje.
Teraz obliczamy dopelnienia algebraiczne wszystkich wyrazow macierzyA:
d 11 = (−1) 1+1 ·
3 4
−2−3
=−9 + 8 =−1,d 12 = (−1) 1+2 ·
6 4
5−3
=−(−18−20) = 38,
=−12−15 =−27.
d 13 = (−1) 1+3 ·
6 3
5−2
=−(−15 + 14) = 1,d 22 = (−1) 2+2 ·
=−6−35 =−41,
d 21 = (−1) 2+1 ·
5 7
−2−3
2 7
5−3
=−(−4−25) = 29.
d 23 = (−1) 2+3 ·
2 5
5−2
= 20−21 =−1,d 32 = (−1) 3+2 ·
=−(8−42) =−34,d 33 =
d 31 = (−1) 3+1 ·
5 7
3 4
2 7
6 4
= 6−30 =−24.
(−1) 3+3 ·
2 5
6 3
2
3
2
3
−1 38−27
1−41 29
−1−34−24
−1 1 −1
38−41−34
−27
Tworzymy macierz dopelnienD=
4
5 . ZatemA −1 = 1
det(A) ·D T = (−1)·
4
5 ,
29−24
czyli ostatecznie
1
Rozwi , azanie.Obliczamy najpierw wyznacznik macierzyA:
det(A) =
A −1 = 1
373676576.006.png
 
2
1 −1 1
−38 41 34
27−29 24
3
A −1 =
4
5 .
Zadanie3.Wyznacz macierz odwrotn , a do macierzy:
A=
2
6 6 4
1 2 3 4
2 3 1 2
1 1 1−1
1 0−2−6
3
7 7 5 .
Rozwi , azanie.I Sposob. Stosujemy metod , e wyznacznikow , a.
1 2 3 4
2 3 1 2
1 1 1−1
1 0−2−6
−1 0 1 6
−1 0−2 5
1 1 1−1
1 0−2−6
det(A) =
w 1 −2w 3 ,w 2 −3w 3
=
= (−1) 3+2 ·1·
−1 1 6
−1−2 5
1−2−6
−1 1
−1−2
1−2
=
−(−12 + 5 + 12 + 12−10−6) =−1, czyli det(A) =−1 6= 0 iA −1 istnieje.
Obliczamy teraz dopelnienia algebraiczne wszystkich elementow macierzyA:
d 11 = (−1) 1+1 ·
3 1 2
1 1−1
0−2−6
3 1
1 1
0−2
=−18 + 0−4−0−6 + 6 =−22,
d 12 = (−1) 1+2 ·
2 1 2
1 1−1
1−2−6
2 1
1 1
1−2
=−[−12−1−4−2−4 + 6] = 17,
d 13 = (−1) 1+3 ·
2 3 2
1 1−1
1 0−6
2 3
1 1
1 0
=−12−3 + 0−2−0 + 18 = 1,
d 14 = (−1) 1+4 ·
2 3 1
1 1 1
1 0−2
2 3
1 1
1 0
=−[−4 + 3 + 0−1−0 + 6] =−4.
d 21 = (−1) 2+1 ·
2 3 4
1 1−1
0−2−6
2 3
1 1
0−2
=−[−12 + 0−8−0−4 + 18] = 6,
d 22 = (−1) 2+2 ·
1 3 4
1 1−1
1−2−6
1 3
1 1
1−2
=−6−3−8−4−2 + 18 =−5,
d 23 = (−1) 2+3 ·
1 2 4
1 1−1
1 0−6
1 2
1 1
1 0
=−[−6−2 + 0−4−0 + 12] = 0,
d 24 = (−1) 2+4 ·
1 2 3
1 1 1
1 0−2
1 2
1 1
1 0
=−2 + 2 + 0−3−0 + 4 = 1.
d 31 = (−1) 3+1 ·
2 3 4
3 1 2
0−2−6
2 3
3 1
0−2
=−12 + 0−24−0 + 8 + 54 = 26,
d 32 = (−1) 3+2 ·
1 3 4
2 1 2
1−2−6
1 3
2 1
1−2
=−[−6 + 6−16−4 + 4 + 36] =−20,
2
d 33 = (−1) 3+3 ·
1 2 4
2 3 2
1 0−6
1 2
2 3
1 0
=−18 + 4 + 0−12−0 + 24 =−2,
d 34 = (−1) 3+4 ·
1 2 3
2 3 1
1 0−2
1 2
2 3
1 0
=−[−6 + 2 + 0−9−0 + 8] = 5.
d 41 = (−1) 4+1 ·
2 3 4
3 1 2
1 1−1
2 3
3 1
1 1
=−[−2 + 6 + 12−4−4 + 9] =−17,
d 42 = (−1) 4+2 ·
1 3 4
2 1 2
1 1−1
1 3
2 1
1 1
=−1 + 6 + 8−4−2 + 6 = 13,
d 43 = (−1) 4+3 ·
1 2 4
2 3 2
1 1−1
1 2
2 3
1 1
=−[−3 + 4 + 8−12−2 + 4] = 1,
d 44 = (−1) 4+4 ·
1 2 3
2 3 1
1 1 1
1 2
2 3
1 1
= 3 + 2 + 6−9−1−4 =−3.
Tworzymy macierz dopelnien:
2
6 6 4
−22
17
1−4
3
7 7 5 .
D=
6 −5
0
1
26−20−2
5
−17
13
1−3
Wypisujemy macierz odwrotn , a do macierzyA:
2
−22 6 26−17
17−5−20
3
A −1 = 1
det(A) ·D T = (−1)·
6 6 4
13
7 7 5 , czyli ostatecznie:
1
0 −2
1
−4
1
5 −3
2
22−6−26 17
−17 5 20−13
−1 0 2 −1
4−1 −5
3
A −1 =
6 6 4
7 7 5 .
3
II Sposob. Stosuj , ac operacje elementarne na wierszach macierzy [A|I 4 ] przeksztalcimy j , a do postaci
[I 4 |A −1 ].
2
1 2 3 4 1 0 0 0
2 3 1 2 0 1 0 0
1 1 1−1 0 0 1 0
1 0−2−6 0 0 0 1
3
2
0 2 5 10 1 0 0−1
0 3 5 14 0 1 0−2
0 1 3 5 0 0 1−1
1 0−2−6 0 0 0
3
6 6 4
7 7 5
w 1 −w 4 ,w 2 −2w 4 ,w 3 −w 4
6 6 4
7 7 5
w 1 $w 4
2
3
2
3
1
1 0−2−6 0 0 0
1
1 0−2−6 0 0
0
1
6 6 4
0 3
5 14 0 1 0−2
7 7 5
w 2 −3w 3 ,w 4 −2w 3
6 6 4
0 0−4−1 0 1−3
1
7 7 5
w 2 $w 3
0 1
3
5 0 0 1−1
0 1
3
5 0 0
1−1
2
6 6 4
0 2
5 10 1 0 0−1
3
7 7 5
2
6 6 4
0 0−1
0 1 0−2
3
7 7 5
1
1 0−2−6 0 0 0 1
0 1 3 5 0 0 1−1
0 0−4−1 0 1−3
1 0−2−6
0 0
0
1
w 3 −4w 4
0 1
3
5
0 0
1−1
w 3 −!w 4
1
0 0
0−1−4 1
5−3
0 0−1
0 1 0−2
1
0 0−1
0
1 0−2
1
3
373676576.007.png 373676576.008.png 373676576.001.png 373676576.002.png
2
6 6 4
1 0−2−6
0 0
0
1
3
7 7 5
2
6 6 4
1 0−2−6
0
0
0
1
3
7 7 5
0 1
3
5
0 0
1−1
(−1)w 3 ,(−1)w 4
0 1
3
5
0
0
1−1
w 1 +6w 4 ,w 2 −5w 4
0 0−1
0
1 0−2
1
0 0
1
0−1
0
2−1
0 0
0−1−4 1
5−3
0 0
0
1
4−1−5
3
2
3
2
3
1 0−2 0
24−6−30
19
1 0 0 0
22−6−26
17
6 6 4
0 1
3 0−20
5
26−16
7 7 5
w 1 +2w 3 ,w 2 −3w 3
6 6 4
0 1 0 0−17
5
20−13
7 7 5 .
0 0
1 0 −1
0
2 −1
0 0 1 0 −1
0
2 −1
0 0
0 1
4−1 −5
3
0 0 0 1
4−1 −5
3
Zatem ostatecznie:
A −1 =
2
6 6 4
22−6−26 17
−17 5 20−13
−1 0 2 −1
4−1 −5
3
7 7 5 .
3
4
373676576.003.png 373676576.004.png 373676576.005.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin