4.2. Prawo Gaussa i przykłady jego zastosowań.
Strumień linii sił pola wektorowego o natężeniu definiujemy następująco:
Można następująco sformułować prawo Gaussa dla pola grawitacyjnego:
Całkowity strumień pola grawitacyjnego przechodzący przez dowolna powierzchnię zamkniętą (tzw. powierzchnię Gaussa), jest proporcjonalny do masy będącej źródłem tego pola – tej, która jest zamknięta wewnątrz powierzchni Gaussa.
Zapisujemy to następująco:
gdzie czyli ostatecznie
Przykłady zastosowania Prawa Gaussa do punktowego, liniowego i objętościowego rozkładu masy.
Strumień pola grawitacyjnego wytwarzanego przez źródło punktowe.
Powierzchnia Gaussa
Uwaga! Znak „-„ związany jest z przeciwnym zwrotem wektorów oraz . Zgodnie z umową wektor skierowany jest w stronę masy M.
Skoro:
a jak obliczono
więc stąd:
Stosując prawo Gaussa dla ładunku punktowego q > 0
A więc skąd:
jeśli w odległości r od źródła q umieszczę ładunek punktowy q0 to:
czyli
jest to siła Coulomba
1) Sferyczny rozkład masy - powłoka kulista o masie M i promieniu R.
gęstość powierzchniowa masy:
rozpatrujemy pierwszy obszar r > R
Na podstawie prawa Gaussa można zapisać:
gdzie M jest masą powłoki zawartej wewnątrz powierzchni Gaussa.
Uwaga na przeciwne zwroty wektorów i , gdyż ich iloczyn skalarny da wartość ujemną.
Dla drugiego obszaru r < R
gdyż żadna masa nie jest zawarta wewnątrz wybranej powierzchni Gaussa.
Zależność g(r) przedstawia poniższy wykres.
2) Objętościowy rozkład masy – kula o masie M, promieniu R i gęstości r.
Rozpatrujemy pierwszy obszar r > R
(cała masa kuli zawarta jest wewnątrz
powierzchni Gaussa).
Można więc zapisać:
Można stąd obliczyć potencjał i energię potencjalną masy próbnej m znajdującej się w odległości r od źródła pola grawitacyjnego M.
Z kolei dla drugiego obszaru r < R tylko część masy kuli M’ znajduje się wewnątrz wybranej powierzchni Gaussa
r>R
skąd
Na podstawie prawa Gaussa:
skąd ostatecznie:
Dla obu obszarów otrzymujemy ten sam wynik gdy r = R:
Przykład: tunel przez Ziemię.
GTAWLK