Definicja stanów sterowalnychobserwowalnych.pdf

(257 KB) Pobierz
424914988 UNPDF
20. Definicja stanów sterowalnych/obserwowalnych. Warunki sterowalności/obserwowalności, wpływ liniowego
przekształcenia zmiennych stanu na sterowalność/obserwowalność, postać kanoniczna Kalmana, transmitancja układów
niecałkowicie sterowalnych/obserwowalnych. Dualność sterowalnosci i obserwowalności.
Rozważać będziemy opis układu w postaci:
d
x(t) Ax(t) Bu(t)
= +
równanie s tanu
dt
y( t ) Cx
= +
(
t)
Du(
t)
równ
a
ni
ewyś
jcia
x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x 0 lub bardziej ogólnie x(t 0 )=x 0
t
x( t )
=Φ − + Φ −
00
∫
( t
τ ττ
)Bu( )d
t
0
64
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
( t t )x
424914988.013.png 424914988.014.png 424914988.015.png
Def.: Stan x 0 nazywać będziemy sterowalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x 0 sprowadzające
wektor stanu układu z punktu x 0 do 0 w skończonym czasie. Zbiór wszystkich stanów sterowalnych oznaczymy przez S .
T1. Zbiór stanów sterowalnych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni stanów.
1
⎡
n
−
⎤
Def.: Stan x 0 nazywać będziemy osiągalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x 0 sprowadzające wektor
stanu układu z punktu 0 do x 0 w skończonym czasie.
Tw. Stan x 0 jest osiągalny wtedy i tylko wtedy gdy jest sterowalny UKŁAD CIĄŁY!!.
Wniosek:
Jeśli 1
x S, x S,
∈ ∈
2
, to istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x 1 do x 2 w skończonym czasie.
Def.: Układ, w którym przestrzeń stanów sterowalnych pokrywa się z przestrzenia stanu nazywamy całkowicie sterowalnym.
Wniosek: Koniecznym I dostatecznym warunkiem całkowitej sterowalności układu jest
65
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
SnB, AB, , AB
=
⎣
⎦
424914988.016.png 424914988.001.png 424914988.002.png
rank B, AB, , A B n
⎡
n
−
1
⎤ =
n
−
det b,Ab, ,A b
⎤ ≠
0
. Dla układu jednowejściowego B=b :
⎣
⎦
Q
= ⎣
⎡
B,AB, ,A B
n
−
1
⎤
macierz sterowalności układu.
Sterowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
Pq( t ) x( t ), det P
=
≠
0
d
Pq( t ) APq( t ) Bu( t )
=
+
nowe
równanie s tan u
dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )
=
+
now równanie wyjś a
e
ci
d
q(t) P APq(t) P Bu(t)
=
−
1
+
−
1
nowe
równanie s t
anu
dt
y(t) CPq(t) Du(t)
=
+
nowe
równanie wyjścia
66
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
⎣
⎦
1
⎡
⎦
424914988.003.png 424914988.004.png 424914988.005.png
d
q(t) Aq(t) Bu(t)
= +
A P AP,B P B
=
−
1
=
−
QP,P, ,PAB
=
⎡
−
1
−
1
− −
n
1
⎤
=
⎣
⎦
dt
y(t) Cq(t) Du(t)
Sq
= +
C CP
=
=
P B,AB, ,A B P Q
−
1
⎡
n
−
⎤
=
−
1
⎣
⎦
S
Modalny warunek sterowalności:
⎡
s I
11
n
0
0
⎤ ⎡ ⎤
B
1
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
0
s I
0
⎥ ⎢ ⎥
B
A
=
11
n
B
=
2
Tw.: Układ o macierzach
jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
0
0
s I
⎦ ⎣ ⎦
B
knk
k
rank B n i ,...,k
i
= =
1
.
Dow.:
67
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
1
1
1
i
424914988.006.png 424914988.007.png 424914988.008.png 424914988.009.png
⎡
BsB
sB
−
1
⎤
⎡
B
0
0
⎤
⎡
I sI
s I
n
−
1
⎤
⎢
1
1 1
1
1
⎥
1
⎢
n
1
1 1
1
n
1
⎥
⎢
⎥
⎢
BsB
sB
−
1
⎥
0
B
0
⎢
I sI
s I
n
−
1
⎥
⎢
⎥
Q
=
⎡
B,AB, ,A B
n
−
1
⎤
=
2
2 2
2
2
=
2
n
2
2 2
1
n
1
⎣
⎦
S
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
BsB
sB
−
1
⎦
⎣
00
B
⎦
⎣
I sI
s I
n
−
1
⎦
k
k
1
k
k
k
k
nk
k nk
k
nk
Rozważmy przekształcenie układu do postaci kanonicznej diagonalnej:
⎡
s
0
0
⎤
⎢
⎥
⎢
0
s
0
⎥
A
= ⎢
2
A VAV,BVB
=
−
1
=
−
1
,
- ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy gdy każdy z wierszy
⎥
⎢
⎥
⎣
00
s
⎦
n
68
Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie
n
n
n
n
n
1
424914988.010.png 424914988.011.png 424914988.012.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin