logika.pdf
(
123 KB
)
Pobierz
LOGIKA MATEMATYCZNA
Poziom podstawowy
Zadanie 1
(4 pkt.)
Ktra koniunkcja jest prawdziwa:
a)
Liczba 64 jest niewymierna i 64 jest liczbĢ dodatniĢ.
b)
Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszĢ liczbĢ caþkowitĢ.
c)
Liczba 1,(3) jest niewymierna i 1,(3) jest liczbĢ mniejszĢ od 1,33.
d)
Liczba p jest niewymierna i p jest liczbĢ wiħkszĢ od 3.
OdpowiedŅ uzasadnij.
Zadanie 2
(4 pkt.)
JeĻli liczbħ 3 wstawisz w miejsce x, to ktre zdanie bħdzie prawdziwe:
a)
x
>
2
i
x
+
1
<
4
(
3
b)
x
=
3
¹
~
x
c)
x
>
2
lub
x
+
1
<
4
(
3
d)
x
3
¼
~
x
=
Zadanie 3
(12 pkt.)
Dla jakich wartoĻci logicznych p i q prawdziwe jest zdanie:
a)
(
) (
)
p
·
q
¹
p
¼
q
,
(6 pkt.)
b)
(
) (
)
p
¸
q
¹
p
¼
q
.
(6 pkt.)
Zadanie 4
(4 pkt.)
Implikacja o poprzedniku p i nastħpniku q jest faþszywa. JakĢ wartoĻę logicznĢ ma zdanie:
(
) (
)
q
·
p
¼
q
¸
( p
¶
)
? OdpowiedŅ uzasadnij.
Zadanie 5
(4 pkt.)
Oznaczmy zdania: p Î Moja siostra ma kartħ rowerowĢ.
q Î Mj brat ma nowy rower.
r Î Brat podwozi siostrħ do szkoþy.
Zapisz sþownie zdanie:
(
)
r
q
·
¶
p
¼
i podaj jego zaprzeczenie.
Zadanie 6
(3 pkt.)
Oceı wartoĻę logicznĢ zdaı:
a)
Dla kaŇdego wspþczynnika b rwnanie
2
x
-bx
-
1
=
0
ma dwa rozwiĢzania.
b)
Zbiorem rozwiĢzaı nierwnoĻci
x
2
- x
4
+
10
<
0
jest zbir liczb rzeczywistych.
c)
Funkcja
f
(
x
)
=
x
2
+
4
x
-
50
nie przyjmuje wartoĻci najwiħkszej.
Zadanie 7
(4 pkt.)
Oceı wartoĻę logicznĢ zdaı:
a)
JeŇeli Toruı leŇy nad WisþĢ, to pies jest ssakiem,
b)
196
jest liczbĢ wymiernĢ i
169 jest liczbĢ wymiernĢ,
c)
<- ,
d)
Liczba -5 jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 3 jest ujemna.
2
-
2
¸
2
>
2
Zadanie 8
(3 pkt.)
Oceı wartoĻę logicznĢ zdania
(
)
r
p
¸
q
·
, gdy:
p
:
3
/
222
16
1
q
:
1
=
1
25
4
r
:
86
-
80
=
16
Zadanie 9
(4 pkt.)
Oceı prawdziwoĻę poniŇszych implikacji. Ktre ze zdaı po zastĢpieniu symbolu implikacji
symbolem rwnowaŇnoĻci jest zdaniem prawdziwym?
a)
2
2
4
/
100
¼
4
/
100
2
2
b)
4
/
10
¼
4
/
10
c)
9
/
15
¼
3
/
15
d)
3
/
21
¼
9
/
21
.
Zadanie 10
(5 pkt.)
Wpisz do tabelki wartoĻę logicznĢ podanych zdaı:
p ¼
q
p ¹
q
p
q
p¸
q
p·
q
625
=
25
100
=
10
( ) ( )
2
2
2
2
0
2
>
0
-
5 >
2
9 / 11
3 / 111
91 jest liczbĢ pierwszĢ
123 jest liczbĢ pierwszĢ
Zadanie 11
(4 pkt.)
To, czy zdanie
[
( )
]
p
¼
q
¸
~
p
jest prawem rachunku zdaı, moŇna sprawdzię, posþugujĢc siħ
nastħpujĢcĢ tabelĢ.
p
( )
[
( )
]
q ~ p
q ~
¸
p
p
¼
q
¸
~
p
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
W tabeli tej zauwaŇamy, Ňe w drugim wierszu ostatniej kolumny wystħpuje wartoĻę
logiczna 0. Oznacza to, Ňe dane zdanie nie jest prawem logicznym.
[
( )
]
q
PostħpujĢc w analogiczny sposb, sprawdŅ, czy zdanie
q
· ~
p
¼
jest prawem rachunku
zdaı.
Zadanie 12
(5 pkt.)
Iloczyn kolejnych czterech liczb naturalnych jest rwny 3024. Wyznacz te liczby.
Zamiast rozwiĢzania rwnania
x
(
x
+
1
)(
x
+
2
)(
x
+
3
=
3024
, gdzie x jest najmniejszĢ
z szukanych liczb, przeprowadzamy rozumowanie logiczne:
1.
PoniewaŇ ostatniĢ cyfra liczby 3024 nie jest 0, wiħc liczba 10 nie jest jednĢ z szukanych
liczb.
4
2.
PoniewaŇ
3024 < , wiħc liczba 3024 jest iloczynem czterech kolejnych liczb
naturalnych mniejszych od 10.
3.
PoniewaŇ ostatniĢ cyfrĢ liczby 3024 nie jest ani 5, ani 0, wiħc liczba 5 nie jest jednĢ
z szukanych liczb.
Wniosek z 1. Î 3.: jedyne moŇliwe iloczyny liczb to:
10
1
µ
2
µ
3
µ
4
albo
6
µ
7
µ
8
µ
9
.
Sprawdzenie:
1
µ
2
µ
3
µ
4
=
24
µ
Odp. szukane liczby to:
6
7
µ
8
µ
9
=
42
µ
72
=
3024
6
µ
7
µ
8
µ
9
.
RozumujĢc logicznie, znajdŅ cztery kolejne liczby naturalne, ktrych iloczyn jest
rwny 5040.
Poziom rozszerzony
Zadanie 1
(4 pkt.)
Wiadomo, Ňe rwnowaŇnoĻę zdaı p i q jest prawdziwa oraz ich koniunkcja jest faþszywa.
JakĢ wartoĻę logicznĢ ma zdanie:
(
) ( )
p
¸
¶
q
¼
¶
p
?
Zadanie 2
(3 pkt.)
Oceı wartoĻę logicznĢ zdania áIstnieje taka liczba caþkowita x, Ňe suma liczby x
i odwrotnoĻci tej liczby jest rwna 2Ñ. Zapisz je uŇywajĢc kwantyfikatorw i symboli
matematycznych. Podaj jego negacjħ.
Zadanie 3
(3 pkt.)
Podaj, jakie liczby naleŇy podstawię za zmiennĢ zdaniowĢ, aby otrzymaę zdanie prawdziwe,
gdy:
a) n jest liczbĢ naturalnĢ takĢ, Ňe:
n
<
3 ·
2
/
n
,
2
2
b) x jest liczbĢ caþkowitĢ takĢ, Ňe:
x
>
4
·
x
=
16
,
2
2
c) x jest liczbĢ rzeczywistĢ takĢ, Ňe:
x
=
4
¸
x
=
16
.
Zadanie 4
(5 pkt.)
Dane sĢ funkcje zdaniowe:
( )
( )(
2
A
:
x
2
+
1
=
x
+
1
)
2
B
:
x
+
1
=
x
-
1
x
+
1
(
)
2
C
:
x
2
+
1
=
x
+
1
-
2
x
(
) ( )
2
2
2
D
:
x
+
1
=
x
+
1
-
x
-
1
WskaŇ, ktre z tych funkcji zdaniowych sĢ:
a)
prawdziwe dla kaŇdej liczby rzeczywistej,
b)
prawdziwe dla pewnej liczby rzeczywistej,
c)
faþszywe dla kaŇdej liczby rzeczywistej.
Zadanie 5
(4 pkt.)
Zdanie áAnia zdaþa na studia i nieprawdĢ jest, Ňe jeĻli Ewa zdaþa maturħ, to Tomek nie zdaþ
egzaminu gimnazjalnegoÑ jest prawdziwe. Czy prawdĢ jest, Ňe Ania zdaþa na studia, Ewa
zdaþa maturħ, Tomek zdaþ egzamin gimnazjalny? OdpowiedŅ uzasadnij.
Zadanie 6
(8 pkt.)
RwnowaŇnoĻę zdaı r i p jest faþszywa oraz implikacja
( )
q
~
p ¼
jest faþszywa. Oceı
[
(
)
] ( )
[
]
r
¸
~
p
·
q
¹
~
q
¼
r
wartoĻę logicznĢ zdania:
SCHEMAT PUNKTOWANIA Î LOGIKA
Poziom podstawowy
Numer
zadania
Etapy rozwiĢzania zadania
L. pkt.
Podanie wartoĻci logicznej zdania a). Odp: zdanie faþszywe.
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania b). Odp: zdanie faþszywe.
1
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania c). Odp: zdanie faþszywe.
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania d). Odp: zdanie prawdziwe.
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania a). Odp: zdanie faþszywe.
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania b). Odp: zdanie faþszywe.
1
2
Podanie wartoĻci logicznej zdania c). Odp: zdanie prawdziwe.
1
Podanie wartoĻci logicznej zdania d). Odp: zdanie faþszywe.
1
SpostrzeŇenie faktu: rwnowaŇnoĻę jest prawdziwa, kiedy zdania q
p· ,
1
p ¼ sĢ prawdziwe lub faþszywe.
q
Rozpatrzenie dla jakich wartoĻci logicznych p i q zdanie q
p· jest
prawdziwe i sprawdzenie czy dla tych samych wartoĻci zdanie
p ¼ teŇ
2
q
jest prawdziwe.
3a
Rozpatrzenie dla jakich wartoĻci logicznych p i q zdanie
p ¼ jest
faþszywe i sprawdzenie czy dla tych samych wartoĻci zdanie q
q
p· teŇ jest
2
faþszywe.
Sformuþowanie odpowiedzi: jeŇeli p i q sĢ prawdziwe oraz jeŇeli p
prawdziwe a q faþszywe.
1
SpostrzeŇenie faktu: rwnowaŇnoĻę jest prawdziwa, kiedy zdania q
p¸ ,
1
p ¼ sĢ prawdziwe lub faþszywe.
q
Rozpatrzenie dla jakich wartoĻci logicznych p i q zdanie q
p¸ jest
prawdziwe i sprawdzenie czy dla tych samych wartoĻci zdanie
2
p ¼ teŇ
q
jest prawdziwe.
3b
Rozpatrzenie dla jakich wartoĻci logicznych p i q zdanie
p ¼ jest
faþszywe i sprawdzenie czy dla tych samych wartoĻci zdanie q
q
p¸ teŇ jest
2
faþszywe.
Sformuþowanie odpowiedzi: jeŇeli p i q sĢ prawdziwe oraz jeŇeli p
faþszywe a q prawdziwe.
1
SpostrzeŇenie faktu, Ňe implikacja o poprzedniku p i nastħpniku q jest
faþszywa jeŇeli zdanie p jest prawdziwe a zdanie q faþszywe.
1
Wyznaczenie wartoĻci logicznej zdania p
q· . Odp. Faþszywe.
1
4
Wyznaczenie wartoĻci logicznej zdania
q ¶
¸
( p
)
. Odp. Faþszywe.
1
Wyznaczenie wartoĻci logicznej implikacji zdaı.
Odp. Prawdziwe.
1
Sformuþowanie zdania: JeĻli mj brat ma nowy rower i moja siostra nie ma
karty rowerowej, to brat podwozi siostrħ do szkoþy.
1
Podanie zaprzeczenia zdania symbolicznie:
(
)
r
~ ·¸ .
1 pkt. Î zaprzeczenie wynikania, 1 pkt. Î zaprzeczenie koniunkcji.
q
p
~
5
2
Sformuþowanie zdania: Mj brat ma nowy rower, moja siostra nie ma
karty rowerowej i mj brat nie podwozi siostry do szkoþy.
1
Plik z chomika:
agulec0109
Inne pliki z tego folderu:
zadania - zbiory.doc
(17 KB)
kartkowka 0.doc
(104 KB)
kartkowka 1.doc
(50 KB)
logika.pdf
(123 KB)
Sprawdzian nr 1.doc
(56 KB)
Inne foldery tego chomika:
I RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
II FIGURY GEOMETRYCZNE
III FUNKCJE
IV WŁASNOŚCI FUNKCJI KWADRATOWEJ
KSIĄŻKI
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin