Zestaw 9
Całka oznaczona, pole obszaru, całka niewłaściwa
Całka oznaczona
Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji ciągłej R , to całką oznaczoną funkcji w przedziale nazywamy
.
Wyrażenie występujące po prawej stronie wzoru zapisujemy .
Wartość całki oznaczonej nie zależy od wyboru funkcji pierwotnej.
Przykład 1. Obliczyć całki oznaczone:
a)
Funkcja R określona wzorem jest ciągła. Wyznaczmy całkę nieoznaczoną . Wtedy funkcja jest funkcją pierwotną . Zatem
b)
c)
Funkcja R określona wzorem jest ciągła. Przyjmując i zauważamy, że . Zatem stosując wzór na całkowanie przez podstawianie, wyznaczmy całkę nieoznaczoną . Wtedy funkcja jest funkcją pierwotną . Stąd
d)
Funkcja R określona wzorem jest ciągła. Zauważmy, że , gdzie i . Wtedy i . Stosując wzór na całkowanie przez części, wyznaczmy całkę nieoznaczoną
. Wtedy funkcja jest funkcją pierwotną . Zatem
Pole obszaru
Jeżeli dla , to całka oznaczona jest równa polu obszaru ograniczonego wykresem funkcji i prostymi , oraz (czyli osią OX).
Jeżeli dla , to całka oznaczona jest równa polu obszaru ograniczonego wykresami funkcji i oraz prostymi , .
Przykład 2. Policzyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
a) , , , .
Niech R będzie określona wzorem . Jeżeli , to , więc , czyli . zatem pole obszaru jest równe
b) , .
Określmy funkcje i wzorami , , R . Rozwiązując równanie znajdujemy punkty przecięcia wykresów funkcji i :
Ponadto, jeżeli , to . Zatem pole obszaru zawartego między wykresami funkcji i jest równe
Wartość średnia funkcji w przedziale
Jeżeli funkcja R jest ciągła, to istnieje takie , że
Wartość nazywamy średnią wartością funkcji w przedziale .
Przykład 3. Obliczyć średnią wartość funkcji w podanym przedziale :
a) ; .
Mamy , oraz
Ponieważ , to średnia wartość funkcji w przedziale jest równa
Całka niewłaściwa
Niech R , gdzie R lub . Jeżeli dla każdego istnieje całka oznaczona oraz istnieje skończona granica
,
to nazywamy całką niewłaściwą funkcji i oznaczamy
Mówimy też, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Jeżeli granica nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Podobnie w przypadku R , gdzie R lub .
Przykład 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
Funkcja R określona wzorem jest ciągła, więc dla każdego całka oznaczona istnieje. Zatem
Całka jest rozbieżna.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1. Obliczyć całki oznaczone:
e)
i)
f)
j)
g)
k)
h)
l)
Zadanie 2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o równaniach:
Zadanie 3. Obliczyć średnią wartość funkcji na podanym przedziale:
Zadanie 4. Obliczyć całki niewłaściwe:
architekturakrajobrazu2013