PLYNY.pdf

STATYKA I DYNAMIKA PŁYNÓW

STATYKA PŁYNÓW

Ci Ļ nienie i g ħ sto Ļę

Ró Ň nica w działaniu siły na płyn i na ciało stałe polega na tym, Ň e w spoczywaj Ģ cej cieczy

siła musi by ę zawsze prostopadła do powierzchni płynu, podczas gdy w ciele stałym mo Ň e

mie ę dowolny kierunek. Spoczywaj Ģ cy płyn nie mo Ň e równowa Ň y ę sił stycznych (warstwy

płynu Ļ lizgałyby si ħ po sobie) i dlatego mo Ň e zmienia ę kształt i płyn Ģę . Wygodnie jest, wi ħ c

opisywa ę sił ħ działaj Ģ c Ģ na płyn za pomoc Ģ ci Ļ nienia p zdefiniowanego jako warto Ļę siły

prostopadłej działaj Ģ cej na jednostk ħ powierzchni . Ci Ļ nienie jest przekazywane na sztywne

Ļ cianki naczynia, a tak Ň e na dowolne przekroje płynów prostopadle do tych Ļ cianek i

przekrojów w ka Ň dym punkcie. Ci Ļ nienie jest wielko Ļ ci Ģ skalarn Ģ .

W układzie SI jednostk Ģ jest pascal : 1 Pa = 1 N/m 2 . Na uwag ħ zasługuje te Ň jednostka bar

bar (1 bar = 10 5 Pa), gdy Ň tyle wynosi w przybli Ň eniu ci Ļ nienie atmosferyczne.

Płyn znajduj Ģ cy si ħ pod ci Ļ nieniem wywiera sił ħ na ka Ň d Ģ powierzchni ħ b ħ d Ģ c Ģ z nim w

kontakcie. Rozwa Ň my zamkni ħ t Ģ powierzchni ħ zawieraj Ģ c Ģ płyn (rysunek). Dowolny element

powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (długo Ļę tego wektora równa jest

reprezentowanej powierzchni, jego kierunek prostopadły do niej, zwrot na zewn Ģ trz). Wtedy

siła F wywierana przez płyn na ten element powierzchni wynosi:

F p

(1)

Rys. 1. Fragment płaskiej powierzchni (S) mo Ň e by ę przedstawiony poprzez wektor do ı

prostopadły

Poniewa Ň F i S maj Ģ ten sam kierunek, wi ħ c ci Ļ nienie p mo Ň na zapisa ę

(2)

Opisuj Ģ c mas ħ płynów najwygodniej jest stosowa ę poj ħ cie g ħ sto Ļ ci

(3)

G ħ sto Ļę zale Ň y od wielu czynników takich jak temperatura, ci Ļ nienie. W tabeli przedstawiony

jest zakres warto Ļ ci g ħ sto Ļ ci spotykanych w przyrodzie.

Materiał

(kg/m 3 )

przestrze ı mi ħ dzygwiezdna

najlepsza pró Ň nia laboratoryjna

10 -18 - 10 -21

10 -17

powietrze (1 atm 0

1.3

powietrze (50 atm 0

6.5

10 3

2.7·10 3

5.52·10 3

9.5·10 3

2.8·10 3

1,4·10 3

10 8 - 10 15

10 17

Woda

aluminium

Ziemia:

warto Ļę Ļ rednia

rdze ı

skorupa

Sło ı ce (warto Ļę Ļ rednia)

białe karły

j Ģ dro uranu

Zmiany ci Ļ nienia wewn Ģ trz nieruchomego płynu

W płynie znajduj Ģ cym si ħ w równowadze ka Ň da jego cz ħĻę pozostaje w spoczynku.

Rozpatrzmy element cieczy w kształcie cienkiego dysku znajduj Ģ cego si ħ w odległo Ļ ci y od

jakiego Ļ poziomu odniesienia.

Rys.2. Siły działaj Ģ ce na element cieczy

Grubo Ļę dysku wynosi d y , a jego pozioma powierzchnia wynosi S . Masa elementu wynosi

S d y , a jego ci ħŇ ar

gS d y . Siły poziome, wywołane jedynie przez ci Ļ nienie płynu, równowa ŇĢ

si ħ . Siły pionowe s Ģ wywoływane nie tylko przez ci Ļ nienie płynu, ale te Ň przez jego ci ħŇ ar.

Element płynu jest w spoczynku, a wi ħ c wypadkowa siła działaj Ģ ca na ı musi by ę zerem. Dla

zachowania równowagi w pionie trzeba, wi ħ c by:

pS = ( p +d p ) S +

gS d y

gdzie (p+dp) to ci Ļ nienie na górn Ģ powierzchni ħ a p na doln Ģ , a st Ģ d:

(4)

Równanie to pokazuje, Ň e ci Ļ nienie maleje wraz z wysoko Ļ ci Ģ . Powodem jest ci ħŇ ar warstwy

płynu le ŇĢ cej pomi ħ dzy punktami, dla których mierzymy ró Ň nic ħ ci Ļ nie ı . Je Ň eli 1

p jest

ci Ļ nieniem na wysoko Ļ ci 1

y a 2

p ci Ļ nieniem na wysoko Ļ ci 2

y to całkuj Ģ c powy Ň sze

równanie mamy:

dp = Ð

gdy

lub

p - 1

p = Ð

gdy

Przyjmuj Ģ c

i g za stałe otrzymujemy:

( p 2 - p 1 ) = -

g ( y 2 - y 1 )

Wygodnie jest przyj Ģę powierzchni ħ cieczy jako poziom odniesienia (y=y 2 ). Zauwa Ň my

ponadto, i Ň ci Ļ nienie p 2 (na powierzchni) jest równe ci Ļ nieniu atmosferycznemu p 0 . Ró Ň nica

h= y 2 -y 1 opisuje poło Ň enie pewnego poziomu w cieczy wzgl ħ dem powierzchni (licz Ģ c w gł Ģ b).

Ci Ļ nienie na tej gł ħ boko Ļ ci oznaczmy p 1 =p. Wtedy

p 0 - p = -

lub:

(5)

Zwi Ģ zek ten pokazuje, Ň e ci Ļ nienie ro Ļ nie wraz z gł ħ boko Ļ ci Ģ i Ň e jest jednakowe dla punktów

o tej samej gł ħ boko Ļ ci.

Zastanówmy si ħ teraz jak ci Ļ nienie zmienia si ħ wewn Ģ trz gazu. G ħ sto Ļę gazu,

r, jest

zazwyczaj mała w porównaniu z ciecz Ģ . Powoduje to, Ň e ró Ň nica ci Ļ nie ı mi ħ dzy dwoma

punktami naczynia (o niezbyt du Ň ych rozmiarach) wypełnionego gazem jest na ogół do

pomini ħ cia i dlatego mo Ň na przyjmowa ę , Ň e ci Ļ nienie gazu w naczyniu jest wsz ħ dzie

jednakowe. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczn Ģ ró Ň nic Ģ

wysoko Ļ ci (np., gdy wznosimy si ħ w atmosferze). Ci Ļ nienie zmienia si ħ wtedy znacznie (o

czym przekonuj Ģ si ħ np. alpini Ļ ci), zmienia si ħ te Ň i g ħ sto Ļę

. Dlatego te Ň , aby scałkowa ę

równanie dy

dp = -

p , musimy zna ę

jako funkcj ħ y.

Z równania stanu gazu mo Ň na łatwo wykaza ę , Ň e

jest proporcjonalne do ci Ļ nienia (

~ p )

przy T=const. Opieraj Ģ c si ħ na tej zale Ň no Ļ ci, wyliczmy ci Ļ nienie p powietrza na wysoko Ļ ci y

ponad poziomem morza. U Ň yjemy Równ. 4:

dp = -

(Równ.4)

Poniewa Ň

~ p wi ħ c:

Ⱦ =

(6)

gdzie 0

Ⱦ i 0

p to znane warto Ļ ci g ħ sto Ļ ci i ci Ļ nienia na poziomie morza. Wstawiaj Ģ c

(r=pr o /p o ) z powy Ň szego równania do Równ.4, otrzymujemy:

dp = - g 0

lub:

dp = -

(7)

Całkuj Ģ c to wyra Ň enie od 0

p w punkcie y=0 (poziom morza) do p w punkcie y nad poziomem

morza mamy :

ln = -

albo

exp[

(

)

]

(8)

Zale Ň no Ļę t Ģ przedstawia poni Ň szy rysunek.

1.0

ciĻnienie

(atm)

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Rys. 3. Zmiana ci Ļ nienia wraz z wysoko Ļ ci Ģ w powietrzu. Wysoko Ļę liczona jest od poziomu

wysokoĻę (km)

morza (krzywa wyliczona wg. Równ. 8)

W rzeczywisto Ļ ci zmiana ci Ļ nienia z wysoko Ļ ci Ģ ró Ň ni si ħ troch ħ od tego, co przewiduje

Równ.8 (temperatura powietrza maleje wraz z wysoko Ļ ci Ģ , co wpływa na zmian ħ g ħ sto Ļ ci,

czego tutaj nie uwzgl ħ dnili Ļ my), niemniej powy Ň sza zale Ň no Ļę jest niezłym przybli Ň eniem.

Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Prawo Pascala

Na Rys. 4 wida ę ciecz w naczyniu zamkni ħ tym tłokiem, na który mo Ň na działa ę ci Ļ nieniem

zewn ħ trznym 0

p . W ka Ň dym punkcie A znajduj Ģ cym si ħ na gł ħ boko Ļ ci h od górnej

powierzchni cieczy, ci Ļ nienie jest dane wyra Ň eniem

p = p 0 +

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: