Akustyka - zadania i rozwiązania.pdf

(272 KB) Pobierz
Cia³o rzucono pod k¹tem a do poziomu nadaj¹c mu prêdkoœæ v0
9. Akustyka.
Wybór i opracowanie zadań 9.1-9.14: Ryszard J. Barczyński
9.1. W roku 2146 policjant zamierzał ukarać mandatem kierowcę, który nie zatrzymał się na
dźwięk jego gwizdka o częstotliwości f 0 =1000Hz . Kierowca tłumaczył się, że nie mógł
usłyszeć gwizdka, gdyż na skutek zjawiska Dopplera wysokość docierającego do niego
dźwięku wyszła poza zakres słyszalności. Policjant ukarał go wtedy mandatem za
przekroczenie maksymalnej dopuszczalnej na obszarze zabudowanym prędkości 180m/s . Czy
miał rację?
9.2. Okręt podwodny płynący ze stałą prędkością v z =10m/s wysyła w kierunku swojego ruchu
impuls ultradźwiękowy o częstotliwości f=30kHz , który wraca po upływie czasu t=0,6s i ma
częstotliwość f 1 =30,3kHz . W jakiej odległości znajduje się obiekt, od którego odbił się impuls
i z jaką prędkością się porusza? Prędkość dźwięku w wodzie wynosi c=1450m/s.
9.3. Samochód straży pożarnej wyposażony w sygnał o częstotliwości dźwięku f 0 =1200Hz
wyrusza z remizy ruchem jednostajnie przyspieszonym. Po czasie t=20s dyżurujący w
remizie strażak zarejestrował dźwięk o częstotliwości f=1100Hz . Jak daleko od remizy
znajdował się wtedy samochód? Prędkość dźwięku wynosi c=340m/s.
9.4. Policyjny radiowóz i uciekający przed nim samochód poruszają się w tym samym
kierunku z tą samą prędkością v . Czy pasażerowie uciekającego samochodu usłyszą zmianę
wysokości dźwięku syreny radiowozu? Jak zmieni się wysokość dźwięku syreny gdy to oni
będą gonili uciekający radiowóz?
9.5. Dwie gitarowe struny E1, stalowa i nylonowa, nastrojone są na ta samą częstotliwość
( 329,6kHz ). Ich długość jest taka sama, a struna stalowa ma siedmiokrotnie większą gęstość i
dwukrotnie mniejszą średnicę. Która struna jest napięta większą siłą?
9.6. Jaka jest długość struny, jeżeli po skróceniu jej o d=3,6cm (przy zachowaniu stałego
napięcia) częstotliwość drgań wzrosła 1,059 razy? (dla zainteresowanych muzyką: jest to
odległość między półtonami w stroju temperowanym).
9.7. Struna o długości l=97cm i kamerton wydają równocześnie dźwięk, który charakteryzuje
się dudnieniami o częstotliwości f d =1,5Hz . Po skróceniu struny o dl=0,3cm tony obu źródeł
pokrywają się. Jaka jest częstotliwość drgań kamertonu?
9.8. Jaka jest prędkość dźwięku w wodorze przy normalnym ciśnieniu ( p=10 5 Pa ) i w
temperaturze 0 o C , jeżeli gęstość wodoru w tych warunkach wynosi ρ =89,8g/m 3 , zaś κ =
1,41 ?
9.9. Prędkość dźwięku w powietrzu przy normalnym ciśnieniu i w temperaturze t 0 =20 o C
wynosi c=340m/s . Jak się zmieni prędkość dźwięku zimą, przy tym samym ciśnieniu i
mrozach o temperaturze t 1 =-20 o C ?
9.10. Częstotliwość najniższego dźwięku (A 4 ) wydawanego przez organy w Katedrze
Oliwskiej wynosi f d =27,5Hz . Jaka jest długość piszczałki organowej odpowiadającej tej
częstotliwości? Prędkość dźwięku w powietrzu w warunkach normalnych wynosi v=340m/s.
9.11. W rurze wypełnionej powietrzem (przyrząd Kundta) przy pewnej częstotliwości
pobudzania drganiami akustycznymi wytwarza się fala stojąca o odległości między węzłami
L 1 =5cm . Po wypełnieniu rury wodorem ta sama częstotliwość pobudzenia powoduje
powstanie fali stojącej o odległości między węzłami równej L 2 =19cm . Jaka jest prędkość
dźwięku w wodorze, jeżeli w powietrzu wynosi ona c=300m/s ?
9.12. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez pojedynczy silnik samolotu w
odległości l = 50m wynosi L = 80dB . Jaki będzie poziom natężenia dźwięku w tej samej
odległości gdy samolot uruchomi jeszcze drugi silnik?
9.13. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez jadący samochód w odległości l =
50m wynosi 50dB . Jaki będzie poziom natężenia dźwięku w odległości l 2 = 100m ?
9.14. Gwizdek sędziego piłkarskiego wywołuje w odległości l g = 1m dźwięk o natężeniu B g =
80dB , a syrena sygnalizująca koniec meczu w odległości l s = 10m dźwięk o natężeniu B s = 90
dB . Który dźwięk osiągnie większe natężenie na środku boiska, odległym o l 1 = 10m od
sędziego i l 2 = 100m od syreny?
Rozwiązania:
Komentarz do zadań z efektem Dopplera .
Ogólny wzór opisujący zmiany częstotliwości dźwięku gdy porusza się jego źródło i odbiorca
wygląda tak:
f
=
f
c
±
obs
v
0
c
±
zr
c jest prędkością dźwięku, v obs prędkością obserwatora, a v zr – prędkością źródła.
Zapamiętanie znaków oraz, która z prędkości ma być w liczniku, a która w mianowniku
często sprawia trudności. Można temu zaradzić pamiętając, że źródło poruszające się z
prędkością dźwięku powoduje falę uderzeniową, która w powyższym wzorze wyraża się
osobliwością (dzielenie przez zero), zatem prędkość źródła musi być w mianowniku. Znaki
można ustalić pamiętając, że gdy źródło i obserwator się zbliżają, to częstotliwość rośnie.
Takiemu przypadkowi odpowiada zatem plus w liczniku i minus w mianowniku.
9.1.R. Przyjmijmy, że zakres słyszalności dźwięku rozciąga się od częstotliwości f d = 20Hz
do f g = 16000Hz (w rzeczywistości jest on dosyć indywidualny). Na skutek zjawiska
Dopplera częstotliwość dźwięku może wzrastać (gdy kierowca zbliża się do policjanta)
f
=
f
c
+
v
0
c
lub zmniejszać się (gdy kierowca oddala się od policjanta)
f
=
f
c
−
v
0
c
W powyższych wzorach c oznacza prędkość dźwięku (około 340m/s ), v – prędkość kierowcy,
a f – częstotliwość, którą usłyszy kierowca. Po wstawieniu częstotliwości granicznych zakresu
słyszalności, gdy kierowca się oddala od policjanta otrzymujemy
f
=
f
c
+
v
⇒
v
=
c
f
g
−
f
0
g
0
c
f
0
a gdy się zbliża
v
4893711.003.png
f
=
f
c
−
v
⇒
v
=
c
f
0
−
f
d
d
0
c
f
0
Po podstawieniu danych liczbowych widzimy, że pierwsza prędkość jest znacznie większa od
prędkości dźwięku, a druga do niej zbliżona. Obie prędkości są zdecydowanie większe od
dozwolonej, zatem policjant miał rację.
9.2.R Zakładamy, że zarówno okręt podwodny, jak i obiekt poruszają się z prędkością
niewielką w stosunku do prędkości dźwięku. Na przebycie podwójnej odległości do obiektu
impuls dźwiękowy potrzebował czasu t, zatem odległość wynosi
l
=
1
ct
≈
435
m
2
Okręt podwodny wysyłający impuls porusza się, podobnie jak i obiekt, który odbija impuls.
Zatem częstotliwość dźwięku docierającego do obiektu będzie zmieniona przez zjawisko
Dopplera:
f
=
f
c
+
v
ob
ob
c
−
v
z
Dodatnia wartość prędkości obiektu w liczniku będzie oznaczała, że obiekt się w kierunku
okrętu, a ujemna – że w przeciwnym. Dźwięk odbija się od obiektu, który pełni teraz rolę
źródła i dociera do okrętu, który pełni rolę obserwatora. Zjawisko Dopplera zachodzi
ponownie
f
=
f
c
+
v
z
1
ob
c
−
v
ob
Ostatecznie częstotliwość dźwięku docierającego do okrętu
f
=
f
c
+
v
ob
⋅
c
+
v
z
1
c
−
v
c
−
v
z
ob
Wyznaczamy prędkość obiektu
f
1
(
c
−
v
z
)(
c
−
v
ob
)
=
f
(
c
+
v
ob
)(
c
+
v
z
)
f
1
(
c
−
v
z
)
c
−
f
1
(
c
−
v
z
)
v
ob
=
f
⋅
v
ob
(
c
+
v
z
)
+
f
⋅
c
(
c
+
v
z
)
v
=
c
(
f
1
−
f
)
c
−
(
f
1
+
f
)
v
z
≈
−
2
78
m
/
s
ob
(
f
+
f
)
c
−
(
f
−
f
)
v
1
1
z
Wartość prędkości jest ujemna, czyli obiekt porusza się w kierunku od okrętu. Warto zwrócić
uwagę, że jest to tylko wartość składowej prędkości leżącej na prostej łączącej obiekt i okręt.
O ewentualnej składowej prostopadłej do tej prostej nie jesteśmy w stanie nic powiedzieć.
4893711.004.png
9.3.R Czas, po którym dyżurny usłyszał dźwięk składa się z czasu ruchu samochodu t s i czasu
powrotu dźwięku t d : t = t s + t d . Zależność między tymi czasami możemy znaleźć
przyrównując drogi samochodu i dźwięku:
1
at =
s ct
2
d
Przyspieszenie samochodu a znajdziemy z efektu Dopplera. Po czasie t s samochód osiągnął
pewną prędkość v s i dyżurny zarejestrował dźwięk o wysokości
f
=
f
c
0
c
+
v
s
Możemy stąd policzyć prędkość samochodu i jego przyspieszenie
v s
=
c
f
0
−
f
ponieważ
a
=
v
s
⇒
a
=
c
f
0
−
f
f
t
t
f
s
s
Wstawiamy przyspieszenie do zależności pomiędzy czasami:
1
c
f
0
−
f
t
2
=
ct
2
t
f
s
d
s
i znajdujemy czas ruchu samochodu
1
f
0
−
f
t
=
t
=
t
−
t
⇒
t
=
t
=
2
tf
2
f
s
d
s
s
1
f
−
f
f
+
f
1
+
0
0
2
f
Możemy już policzyć przyspieszenie samochodu:
a
=
v
s
⇒
a
=
c
(
f
0
−
f
)(
f
+
f
0
)
t
2
tf
2
s
i ostatecznie jego odległość od remizy w chwili, gdy dyżurny zarejestrował dźwięk (do
równania wstawiamy całkowity czas t , bo w czasie gdy dźwięk powracał samochód cały czas
jechał):
at
2
(
f
−
f
)(
f
+
f
)
s
=
=
ct
0
0
2
4
f
2
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy s = 271m .
Dodatek: można próbować rozwiązać to zadanie przy założeniu, że czasu ruchu samochodu t s
jest dużo większy od czasu powrotu dźwięku t d . Rozwiązanie jest wtedy prostsze, ale mniej
dokładne i wygląda tak: po czasie t samochód osiągnął pewną prędkość v s i dyżurny
zarejestrował dźwięk o wysokości
2
4893711.005.png 4893711.006.png
f
=
f
c
0
c
+
v
s
Możemy stąd policzyć prędkość samochodu i jego przyspieszenie
v s
=
c
f
0
−
f
ponieważ
a
=
v
/
t
⇒
a
=
c
f
0
−
f
f
s
tf
i odległość od remizy
at
2
ct
f
−
f
s
=
=
0
2
2
f
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy s = 283m , czyli zaniedbanie czasu powrotu
dźwięku powoduje błąd ponad 5% !
9.4.R Skoro radiowóz i samochód poruszają się z tą samą prędkością, to ich prędkość
względem siebie jest równa zeru i zjawisko Dopplera nie zajdzie. Pewien niepokój może
budzić fakt, że musimy jeszcze brać pod uwagę ośrodek, w którym rozchodzi się fala
dźwiękowa (powietrze), a względem tego ośrodka zarówno źródło, jak i obserwator poruszają
się. Gdy radiowóz goni samochód mamy jednak
f
=
f
c
−
v
=
f
0
c
−
v
0
a gdy samochód jedzie za radiowozem
f
=
f
c
+
v
=
f
0
c
+
v
0
W żadnym przypadku nie zaobserwujemy zmiany częstotliwości. Podobnie nie
zaobserwujemy zjawiska Dopplera gdy źródło i obserwator są nieruchome, a porusza się tylko
powietrze (na przykład wieje wiatr).
Komentarz: częstotliwość drgań własnych struny
Częstotliwość drgań własnych zamocowanej z obu końców struny zależy od jej długości,
materiału i naprężenia:
f k
=
k
F
2
l
S
gdzie k=1,2,3,... , l jest długością struny, F siłą napinającą, S przekrojem, a ρ gęstością
materiału struny. Wartość k=1 odpowiada częstotliwości podstawowej, a wartości większe
wyższym częstotliwościom harmonicznym.
9.5.R Częstość drgań własnych struny wyraża się zależnością
4893711.001.png 4893711.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin