PRAWA KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ
Istotę klasycznego rachunku zdań warunkuje szereg praw, które zastosowanie znajdują nawet w naszym codziennym życiu, choć niejednokrotnienie zdajemy sobie z tego sprawy. Poniżej przedstawię najważniejsze z nich.
1. Prawo tożsamości (każde zdanie implikuje siebie), czyli „jeżeli p to p”
Zgodnie z zasadą implikacji (wynikania), jeżeli prawdziwe jest zdanie p to cała implikacja jest prawdziwa: jeżeli mam na imię Ala to mam na imię Ala, jeżeli mówię nie to mówię nie (..).
2. Prawo podwójnego przeczenia
Według tej zasady, podwójnie zaprzeczenie prowadzi do potwierdzenia. Prawo to ma zastosowanie w większości gramatyk. Mówiąc w języku niemieckim: Ich bin nicht keine Madchen, gdzie nicht i keine są zaprzeczeniem, tłumaczymy: jestem dziewczynką. W języku polskim ta zasada nie ma niestety zastosowania, ponieważ mówiąc: nie jestem żadną dziewczynką, mamy na myśli: jestem chłopcem.
3. Prawo przemienności koniunkcji
Zasada bardzo prosta, mająca zastosowanie między innymi w mnożeniu i dodawaniu. Bez różnicy jest czy pomnożymy 3 i 4 czy też 4 i 3. Wynik zawsze wychodzi ten sam.
4. Prawo przemienności alternatywy
Zasada podobna do poprzedniej, z tym, że mamy tutaj do czynienia ze spójnikiem lub. Nie ma bowiem znaczenia czy powiemy: pojadę do babci lud do cioci, czy pójdę do cioci lub do babci.
5. Prawo łączności koniunkcji
Koniunkcja ma to do siebie, jak już wcześniej napisałam, iż można zamieniać kolejność jej składników, a wynik zawsze pozostanie ten sam (przykład mnożenia i dodawania).
6. Prawo łączności alternatywy
Zasada, jak wyżej, która mówi, że bez względu na kolejność składników, uzyskany zostanie ten sam wynik.
7. Prawo idempotentności koniunkcji
Jeżeli p to na przykład: jestem człowiekiem, to koniunkcja będzie brzmiała jestem człowiekiem i jestem człowiekiem i będzie ona zawsze prawdziwa.
8.Prawo idempotentności alternatywy
Weźmy za p: mam dwa lata. Alternatywa tego stwierdzenia będzie zawsze prawdziwa: mam dwa lata lub mam dwa lata (ale zawsze mam dwa, bez względu na wybór).
9. Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
Zasada ta może się wydawać skomplikowana, jednak w rzeczywistości jest bardzo prosta. Niech p będzie zdaniem: pójdę do kina, q: zrobię zakupy, r: od razu wrócę do domu.
Rozdzielności koniunkcji względem alternatywy będzie więc brzmiała tak:
Pójdę do kina i zrobię zakupy albo od razu wrócę do domu. → Pójdę do kina i zrobię zakupy lub pójdę do kina i od razu wrócę do domu.
Czyli uzyskaliśmy po prostu z jednego zdania dwa, lecz o tym samym znaczeniu.
10. Prawo wyłączonego środka (z dwóch zdań: zdania lub jego zaprzeczenia jedno zawsze jest prawdziwe)
Prawo to jest odpowiednikiem reguły tertium non datur (łac. trzeciej możliwości nie ma). Przykład zdania: Pójdę do kina lub nie pójdę do kina
11. Prawo sprzeczności
Nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie jego zaprzeczenie:
Nieprawda, że pójdę do kina i że nie pójdę do kina.
12. Prawa pochłaniania
Inna postać:
13. Pierwsze prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia alternatywy)
Nieprawda, że pójdę do kina lub pójdę do babci.
Nie pójdę do kina i nie pójdę do babci.
Drugie prawo De Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji)
Prawa te pozwalają definiować jedne spójniki zdaniowe innymi:
Nie pójdę do kina i do babci. Nie pójdę do kina lub nie pójdę do babci.
14. Prawo Claviusa
Gdy zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe:
Jeśli, jeżeli nieprawda jest, że jestem chłopcem, to jestem dziewczynką, więc jestem dziewczynką.
15. Prawo Dunsa Szkota
Jeżeli zdanie jest fałszywe, to wynika z niego każde inne zdanie.
16. Prawo symplifikacji
Jeżeli zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego.
Jeżeli mam trzy lata to, jeśli jestem w wieku trzech lat, to mam trzy lata.
17. Prawo sylogizmu, prawo przechodności implikacji
Jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie.
Jeżeli, jeśli byłam w kinie to oglądałam tą komedię i jeśli oglądałam tą komedię to już znam ten film to w takim razie, jeżeli byłam w kinie to znam już ten film.
18. Prawa transpozycji
Jeżeli z jednego zdania wynika drugie, to z zaprzeczenia drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
Prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia)
Jeżeli z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, to z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze
Prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy zaprzeczenia)
Jeżeli z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, to z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego
Prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przy pomocy potwierdzenia)
19. Prawo odrywania
Jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe. Prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia)
Jeżeli babcia ma wąsy to jest dziadkiem i babcia ma wąsy wiec babcia jest dziadkiem.
20. Prawo eliminacji implikacji
Jeżeli mam 20 lat to jestem już dorosła. → Nieprawda, że mam 20 lat lub jestem dorosła.
21. Prawo zaprzeczenia implikacji
Nieprawda, że, jeśli mam 20 lat to jestem studentką. Mam 20 lat i nie jestem studentką.
22. Prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum)
Jeżeli babcia ma wąsy to jest dziadkiem i jeżeli babcia ma wąsy to nie jest dziadkiem. Więc babcia nie ma wąsów.
23. Prawo Fregego
Jeżeli jestem zdałam maturę, to, jeśli mam 20 lat to jestem studentką, więc jeżeli zdałam maturę, to mam 20 lat, co oznacza, że jeśli zdałam maturę to jestem studentką.
Na koniec pracy należy dodać jeszcze jedno ważne stwierdzenie. Wszystkie prawa klasycznego rachunku zdań są tautologią. Oznacza to, że wyrażenia te są prawdziwe na mocy swojej logicznej formy. Czyli przy każdym podstawieniu stałych za zmienne, zdanie ma wartość logiczna prawdy.
Jak wynika z powyższych przykładów, prawa klasycznego rachunku zdań nie są nam obce, choć ich zapis symboliczny może się wydawać nieco skomplikowany. Używamy je w życiu codziennym, mimo, iż często nie zdajemy sobie z tego sprawy. Dlatego warto czasem poświęcić chwilę na zaczerpnięcie wiedzy z logiki, dziedziny ważniejszej nawet od samej królowej nauk – matematyki.
Bibliografia:...
Selija21