1. Co oznacza termin dystrybuanta. Narysuj dystrybuantę rozkładu normalnego wystandaryzowanego.
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako:
F(x) = P.(X £ x)
Z definicji tej wynika, że zmienna losowa X przyjmuje wartość nie większą od wartości argumentu. ( Dystrybuanta w punkcie x, to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze bądź równe x)
2. Jaka jest definicja i własność standaryzacji.
Wynik ten może być dodatni lub ujemny. Znak pokazuje nam czy wynik ten leży poniżej, czy powyżej średniej, zatem to nie tylko liczba odchyleń standardowych od średniej, ale także kierunek odchylenia (większy lub mniejszy od średniej)
· Z własności miar rozproszenia wynika, że skoro odchylnie standardowe zmiennej X równe jest s, to odchylenie standardowe zmiennej X – x (X minus stała) równe jest także s.
· Z postaci wzoru bezpośrednio wynika, że średnia arytmetyczna zmiennej z równa jest 0.
· Wyniki standardowe stosuje się w celu porównania pomiarów otrzymywanych po użyciu różnych procedur n tego samego badanego, bądź badanych między sobą.
3. Dlaczego odchylenie standardowe statystyki nazywa się błędem standardowym.
Odchylenie standardowe statystyki nazywa się błędem standardowym, ponieważ błąd standardowy jest właśnie odchyleniem standardowym rozkładu z próby tej statystyki. Jest to błąd mierzący stopień zmienności statystyki.
4. Ile wynosi błąd standardowy średniej arytmetycznej i dla czego.
Błąd standardowy średniej arytmetycznej równy jest odchyleniu standardowemu tej średniej w rozkładzie z próby. Na podstawie centralnego twierdzenia granicznego, można stwierdzić, że rozkład średniej próby x dąży do rozkładu normalnego ze średnią m i wariancją d /n. Jeśli zatem wariancja średniej arytmetycznej w rozkładzie z próby równa się d /n, a odchylenie standardowe średniej arytmetycznej w rozkładzie z próby równa się
5. Oblicz prawdopodobieństwo zrealizowania się wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z przedziału <m;m+25>
P.(x1£ x £ x ) = f (z2) - f (z1) = f(z) - f(o) – 0,9772-0,5 = 0,4772
x1 = m ® z1 = m - m
x2 = m + 25 ®
6. Estymuj przedziałowo m, gdy x = 40; s=5; n=225
P.
P.(40– 1,96
P. (39,354 £ m £ 40,646) = 0,95
7. Narysuj rozkład t-studenta i podaj jego definicję.
Rozkłady pola t – Studenta zmiennej t są to spłaszczone rozkłady normalne po wystandaryzowaniu. Spłaszczenie jest tym większe im mniejsza wartość próby.
8. ile znasz błędów wnioskowania. jakie jest ich źródło. jak od siebie zależą.
I° - polega na odrzuceniu hipotezy H0, będącej przypuszczeniem prawdopodobnym. Jest to błąd I rodzaju, równy wielkością poziomowi istotności a. Wywodzi się z probabilistycznego charakteru teorii. Ponieważ badań dokonujemy na poziomie próby, musimy przyjąć jakąś wielkość błędu o jaką zakładamy, że możemy się pomylić. Jest on więc wyznaczany subiektywnie przez badacza.
II° - polega na nie odrzuceniu hipotezy H0, będącej przypuszczeniem fałszywym. Jest to błąd II rodzaje, jest wielkością b. Wywodzi się z czysto logicznego błędu wnioskowania. Prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu jest większe, w przypadku małych prób. Zależność między tymi błędami polega na tym, że jeśli będziemy chcieli zmniejszyć błąd a, to zwiększymy tym samym błąd b. Jedynym sposobem zmniejszenia jednocześnie obu tych błędów, jest zwiększenie liczebności prób. Również postawienie hipotezy H1 ,w formie kierunkowej, a idący za tym sposób testowania jej testem jednostronnym, zmniejsza błąd b.
9. Co to jest obszar krytyczny testu.
Obszar krytyczny (w kolejnych rozkładach z próby) jest to przedział wartości tej statystyki odpowiadający poziomowi istotności.
10. Co to jest test statystyczny.
Test statystyczny jest to sposób sprawdzający, weryfikujący hipotezę zerową. Jest zdeterminowany postacią hipotezy alternatywnej.
11. JAKI JEST STATUS HIPOTEZY ZEROWEJ WE WNIOSKOWANIU STATYSTYCZNYM I JAKA JEST JEJ DEFINICJA. (dopisać def.)
Hipoteza zerowa jest weryfikowana przy założonej decyzji odnośnie postępowania po jej ewentualnym odrzuceniu. Sposób sprawdzania hipotezy zbiorowej jest zdetrminowany przez postać hipotezy alternatywnej. Hipotezę zerową weryfikuje się testem statystycznym dwustronnym lub jednostronnym. Hipotezę zerową można przyjąć lub odrzucić z określonym p.-em.
12. Przedstaw schemat wnioskowania statystycznego.
Procedury wnioskowania statystycznego wprowadzają porządek do wszelkich naszych prób wyciągania wniosków, które wykraczają poza obserwacje dokonywane na poszczególnych próbkach.
Pytania na jakie można odpowiedzieć dzięki wnioskowaniu statystycznemu:
A) czy uzyskana próbka wyników jest rzeczywiście reprezentatywna dla pewnej okreslonej populacji
B) czy otrzymana różnica między średnimi różnych próbek jest dostatecznie duża, aby móc wyciągnąć wniosek, że próbki te są prawdopodobnie pobrane z różnych populacji
C) czy zróżnicowanie wyników między grupami, które podano różnym oddziaływaniom eksperymentalnym, jest większe niż rozrzut wyników w obrębie każdej z tych grup.
13. Z jaką pewnością przyjmuje się hipotezę zerową. Podaj definicję hipotez rozważanych w trakcie wnioskowania.
Hipotezę zerowa przyjmuje się z pewnością 1 – alfa, np. jeżeli zakładamy, że alfa = 0,05, to hipotezę zerową przyjmujemy z pewnościa 0,95.
W trakcie wnioskownia rozważamy hipotezy: zerową, alternatywną; różnościowe bądź kierunkowe.
Hipoteza różnościowa ma postać : m1: m1 ¹ m2 i mówi o różnym m1 i m2.
Hipoteza kierunkowa ma postać m1 : m1 > m2 i mówi, że m1 jest większe od m2.
14. Jakie znasz skale pomiarowe.
1) Skala stosunkowa (ilorazowa) – stanowi najwyższy poziom pomiaru. Skala ta posiada wszelkie właściwości niżej wymienionych skal , i tę właściwość, że jej początkiem jest zero bezwzględne.
2) Skala przedziałowa – zwana także interwałową posiada wszystkie właściwości skal nominalnych i porządkowych, a ponadto i tę iż ma równe jednostki. Oznacza to, że jednostkowe różnice wyników reprezentują równej wielkości różnice tej cechy, którą mierzymy. Przedziały są równe na całej skali.
3) Skala porządkowa – pomiar na tej skali nie tylko odróżnia daną osobę od pozostałych, lecz także mówi nam, czy dana osoba posiada mierzoną cechę w większym lub mniejszym stopniu.
4) Skala nominalna – jest najniższym poziomem pomiaru. Liczby stosuje się tu tylko dla odróżnienia jednej osoby lub grupy od innej.Liczby te nie reprezentują ilości czegokolwiek.Istotą pomiaru na skali nominalnej jest klasyfikacja jakościowa.
15. Co oznacza termin „rozkład z próby statystycznej”.
Rozkład z próby statystyki jest to rozkład prawdopodobieństwa estymatora tej statystyki, opisujący zmienność statystyki w zbiorze powtarzanych prób.
16. Ile stopni swobody ma wariancja i dlaczego.
Wariancja ma n-1 stopnia swobody:
Spośród n odchyleń podniesionych do kwadratu, tylko n-1 może się swobodnie zmieniać. Wariancja ma n-1 stopni swobody.
Spośród n odchyleń podniesionych do kwadratu, tylko n-1 może się swobodnie zmieniać, dzięki dzieleniu przez n-1, a nie przez n. Estymator d nie jest obciążony, tzn. nie wykazuje systematycznej jedynki do tego by być większym bądź mniejszym niż d.
17. Podaj definicję kwartyli. Jaki jest związek mediany z kwartylami.
Kwartyle – jednostki dzielące liczbę osób na 4 równo liczące grupy, każda po 25% ogólnej liczb osób. Mediana to 2 kwartyl?
18. Narysuj wystandaryzowany rozkład normalny i wypisz jego własności.
Na odcinku 2 odchyleń powierzchnia pola zajmuje 95,5% całej powierzchni pola, a na odcinku 3 odchyleń 99,7% powierzchni całego pola. a=0, d2=1
19. Co znaczy termin wartość krytyczna testu statystycznego.
Wartość krytyczna testu statystycznego stanowi granica przedziału ufności:
20. Jak jest definicja statystyki t-studenta i przy jakich założeniach można ją stosować.
zmienna x musi być przynajmniej ze skali przedziałowej;
xàn(a, d2); próba losowa n-elementowa; a – określone prawoskośnie H0:m=m0 H1:m¹m0
21. Jaką interpretacje mają wartości znanych statystyk t-studenta.
Gdy |t|>taf Þ H0- hipotezę zerową odrzucamy z prawem 1-a, przyjmując alternatywną.
Gdy |t|<taf Þ H0+ nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. f=n-1
22. NARYSUJ ROZKŁAD STATYSTYKI F-FISHERA I PODAJ JEJ DEFINICJĘ.
d12 s1 2
d2 2 s22
Służy on do badania homogeniczności wariancji. Aby go zastosować, musimy mieć dwie próby losowe, niezależne.
F= » ³ 1
s1 2 - wariancja większa ze stopniami swobody f1 = n1 - 1
s22 - wariancja mniejsza ze stopniami swobody f 2 = n2 - 1
F > Fa, f1, f2 Þ H0-
F £ Fa, f1, f2 Þ H0+
23. postaw hipotezy stosowane przy weryfikowaniu homogeniczności wariancji dwu populacji. czy mogą mieć postać alternatywną.
H0 : d12 = d2 2=d
H1 : d12 > d2 2
H1 zawsze musi mieć taką postać.
24. kiedy w próbkach mówi się „próby niezależne”, a kiedy „próby zależne”. czy rozróżnienie to wpływa na sposób testowania hipotezy zerowej.
Próby niezależne stanowią dwa rozłączne zbiory osób (w skład jednej próby wchodzą inne osoby niż do drugiej próby). Jedne pomiar nie może wpływać na drugi.
Próby zależne są to próby losowe z jednego zbioru osób (osoby te, mogą powtarzać się w jednej i w drugiej próbie). Jeden pomiar wpływa na drugi.
Rozróżnienie to wpływa na sposób testowania hipotezy zerowej.
`x1 - `x2
Ö d12/n1 + d22/n2
Próby niezależne. Postać statystyki testu t =
H0 : m1 = m2
H1 : m1 ¹ m2
Próby zależne. Postać statystyki testu t = × Ön
...
psychUW