Prawdopodobieństwo geometryczne. Zadania 1.pdf

Prawdopodobie«stwogeometryczne

Zad.1. PanXdoje»d»adopracytramwajemlubautobusem,wzale»no±ciodtego,co

przyjedziepierwsze.Autobusprzyje»d»azawszeopełnejgodzinie,tramwaj20minut

ponim.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eXpojedzietramwajem?

Zad.2. Dwieosobymog¡przyj±¢naspotkaniewka»dejchwilizprzedziału[0 ,T ].Obliczy¢

prawdopodobie«stwo,»ejednaztychosóbnieb¦dziemusiałaczeka¢nadrug¡dłu»ej

ni» t .

Zad.3. Naokr¦guwybranolosowo3punkty.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eotrzy-

manytrójk¡tjestostrok¡tny?

Zad.4. Losujemy3liczby a , b , c zodcinka[0 , 1].Jakiejestprawdopodobie«stwo,»e

a<b<c ?

Zad.5. Wkoleopromieniu R poprowadzonowsposóblosowyci¦ciw¦.Wyznaczy¢praw-

dopodobie«stwo,»ejejdługo±¢nieprzekraczabokutrójk¡tarównobocznegowpisa-

negowtokoło.

Prawdopodobie«stwogeometryczne–zadanianakolokwium

Zad.1. Wdwóchlosowychmomentach t x i t y zprzedziału[0 ,T ]powinnypojawi¢si¦

niezale»nieodsiebiezdarzenia X i Y .Zdarzeniateuwa»amyzapokrywaj¡cesi¦,

je»eli − a ¬ t x − t y ¬ b , a> 0, b> 0.Wyznaczy¢prawdopodobie«stwo,»e:

a) X pojawisi¦wcze±niejni» Y ,

b) X i Y pokrywaj¡si¦,

c) Y pojawisi¦wcze±niejni» X przyzało»eniu,»e X i Y pokrywaj¡si¦.

Zad.2. Wybieramylosowopunktkwadratujednostkowego0 ¬ x ¬ 1,0 ¬ y ¬ 1.

Wyznaczy¢prawdopodobie«stwotego,»e:

a) x 1 2 przy x + y 1 3 , b) x y przy xy 1 4 ,

c) y ¬ 1 2 przy x = 1 2 , d) x 2 + y 2 ¬ 1 4 przy xy ¬ 1 16 .

Zad.3. Naodcinek AB rzuconowsposóblosowytrzypunkty.Obliczy¢prawdopodobie«-

stwo,»eztrzechodcinkówodługo±ciachrównychodległo±ciomtychpunktówod A

mo»nautworzy¢trójk¡t.

Zad.4. Wyznaczy¢prawdopodobie«stwo,»epierwiastkirównaniakwadratowego

x 2 +2 ax + b =0s¡rzeczywiste,je±liwspółczynnikimog¡przyj¡¢zjednakowym

prawdopodobie«stwemka»d¡zwarto±ciwprostok¡cie − k ¬ a ¬ k , − l ¬ b ¬ l .

Zad.5. Napłaszczy¹niepoprowadzonodwierodzinyprostychrównoległych,któredziel¡

j¡naprostok¡tyobokach a i b , a ¬ b .Napłaszczyzn¦t¡rzuconowsposóblosowy

monet¦o±rednicy2 r<a .Obliczy¢prawdopodobie«stwo,»enieprzetnieona»adnej

zprostych.