mat fins.doc

Matematyka finansowa z przykładami

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ: Kapitalizacja, Dyskonto

Procent. Stopa procentowa.

Wartość przyszła lokaty przy różnych skokowych częstościach kapitalizacji. Kapitalizacja ciągła.

Wartość obecna znanej wartości przyszłej przy różnych częstościach dyskonta. Dyskonto ciągłe.

Efektywna stopa procentowa.

Procent (Interest) - opłata za prawo do korzystania z kapitału pieniężnego.

Stopa procentowa (Interest rate) - stosunek procentu do początkowej wartości kapitału x 100. Potocznie, stopa procentowa jest nazywana procentem.

Stopa zwrotu, stopa dochodu (rate of return, yield)  - różnica względna między dochodem z inwestycji a wydatkami na nią, wyrażona w  procentach.

Oprocentowanie proste (Simple interest) - procent jest liczony od wartości kapitału początkowego i jest on proporcjonalny do długości czasu, na który kapitał został udostępniony. Przy oprocentowaniu prostym odsetki nie są kapitalizowane (nie są dodawane do kapitału początkowego na koniec okresu oprocentowania).

gdzie: r – stopa procentowa, n – liczba okresów oprocentowywania, I – wartość procentu.

Oprocentowanie złożone (Compound interest) - procent składany. Procent jest doliczany do kapitału na koniec każdego okresu odsetkowego i suma ta stanowi kapitał na początek kolejnego okresu oprocentowania. Stosowane są różne standardy traktowania czasu dla okresów kapitalizacji – czas mierzony odcinkami (np. miesiąc, pół roku, rok itp.) lub czas liczony w sposób ciągły.

Regułą rynkową jest kapitalizacja dla dyskretnych przedziałów czasu, w wykładach uniwersyteckich chętnie jest stosowana kapitalizacja ciągła.

gdzie:  I1 – skapitalizowana wartość procenu.

Proste obliczenia z zakresu matematyki finansowej

Kapitalizacja odsetek

Kapitalizacja dyskretna:

A – kapitał ulokowany na koncie,

n – liczba lat, na którą lokujemy kapitał,

r – roczna stopa oprocentowania kapitału (stopa procentowa w skali roku, p.a. = per annum),

Wartość przyszła po n okresach – WPn, kapitalizacja roczna :

Wartość przyszła po n okresach, kapitalizacja dyskretna z częstotliwością m razy w roku - WPn/m 

Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji dyskretnej (m razy w roku).

Jest to stopa, która równoważy efekt kapitalizacji w podokresach danego okresu:

Kapitalizacja ciągła

gdzie:  e = stała = 2,71828; liczba niewymierna, definiowana jako:

.

Efektywna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej (kapitalizacja ciągła w roku):

ZWIĄZEK ZACHODZĄCY MIĘDZY STOPĄ PROCENTOWĄ KAPITALIZACJI CIĄGŁEJ W DANYM OKRESIE I RÓWNOWAŻNĄ STOPĄ PROCENTOWĄ KAPITALIZACJI DYSKRETNEJ W TYM SAMYM OKRESIE:

r1 – stopa oprocentowania wkładu w skali roku dla kapitalizacji ciągłej,

r2 - równoważna ­stopa oprocentowania wkładu dla kapitalizacji m razy w roku.

Mamy zależność:

Logarytmując stronami otrzymamy związek między r1 i r2:

gdzie: ln jest symbolem logarytmu naturalnego, lne  (logarytmu o podstawie e).

Zakładając znajomość r1 możemy z powyższej równości obliczyć r2:

Dyskontowanie wartości przyszłej WP

Wartość bieżąca – WB

Jej obliczenie polega na dyskontowaniu wartości przyszłej (po n latach), które jest działaniem odwrotnym do kapitalizacji. Chcemy obliczyć WBn przy założeniu znajomości WPn.

Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością raz w roku znanej wartości WPn:

Dyskontowanie dyskretne z częstotliwością m razy w roku znanej wartości WPn:

Dyskontowania ciągłe znanej wartości WPn:

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ (c.d): Wielkość i wartość renty zwykłej. Rentowność i dyskonto bonów skarbowych.

Wartość przyszła renty zwykłej

Wartość bieżąca renty zwykłej

Wielkość renty (stałej wpłaty) zapewniającej znaną wartość przyszłą

Wielkość renty (stałej wpłaty) zapewniającej znaną wartość obecną

Rentowność i dyskonto BS

Elementarna matematyka finansowa (c.d.).

Wartość przyszła renty zwykłej

A – wielkość wpłaty dokonywanej z końcem roku (renta zwykła lub regularna),

n – liczba lat dokonywania płatności,

r – oprocentowanie w skali roku.

Ponieważ,                      ,              to

PRZYKŁAD

Bank oferuje lokatę oprocentowaną na 8% p.a., przy czym odsetki kapitalizowane są co kwartał. Inwestujemy systematycznie przez 3 lata płacąc na koniec każdego kwartału sumę 100. Należy obliczyć wartość przyszłą tej inwestycji.

Odpowiedź.

Mamy do czynienia z rentą zwykłą i występuje zgodność okresu płatności z okresem kapitalizacji. Wobec tego r = 0,08/4 = 0,02, zatem:

= 100[(1+0,02)12 – 1]/0,02 = 1341,21

Wartość bieżąca (obecna) renty zwykłej

   ,  gdyż:     

PRZYKŁAD

Samochód można kupić na raty płacąc, na utworzony w tym celu rachunek bankowy, przez 4 lata na koniec każdego półrocza, sumę równą 100. Rachunek jest oprocentowany na 8% p.a. i kapitalizowany co pół roku. Ten sam samochód można też kupić za gotówkę. Powstaje pytanie, przy jakiej cenie gotówkowej zakup samochodu na raty przestaje być opłacalny?

Odpowiedź.

Problem można sprowadzić do wartości bieżącej renty i występuje zgodność okresu płatności z okresem kapitalizacji.

= ,

gdzie A = 100, a r = 0,08/2 = 0,04 (w skali ½ roku).

Podstawiając te wartości otrzymamy:

= 100[1 – 1/(1+ 0,04)8]/0,04 = 673,27.

Wniosek: zakup za gotówkę opłaca się bardziej niż zakup na raty, kiedy cena samochodu za gotówkę nie przekracza 673,27.

Wielkość renty (wpłaty) przy znanej wartości przyszłej

(proszę wskazać wzór, z którego tę wartość możemy otrzymać natychmiast).

PRZYKŁAD

Pan Kowalski zamierza nabyć samochód za gotówkę za 2 lata. Przewidywana cena samochodu wynosi 1.000. P. Kowalski zamierza oszczędzać systematycznie i będzie wpłacał równe raty na koniec każdego półrocza na rachunek oprocentowany na 10% p.a. i kapitalizowany co ½ roku. Jaką sumę musi płacić Kowalski co ½ roku ?

Odpowiedź

Mamy do czynienia z pytaniem o wysokość renty przy znanej wartości przyszłej tej renty, przy czym zachodzi zgodność terminów płatności z terminami kapitalizacji.

=  0,05 x1.000 /  [(1 + 0,05)4 –1] =  232,01

Wielkość renty (wpłaty) przy znanej wartości bieżącej

(proszę wskazać wzór, z którego tę wartość możemy otrzymać natychmiast):

.

PRZYKŁAD

Bank oferuje kredyt oprocentowany na 10% w wysokości 1000, przy czym kredyt ma być zwrócony w 4 równych ratach (rata obejmuje spłatę kapitału i odsetki) płaconych na koniec roku. Odsetki od kredytu są kapitalizowane co rok. Należy obliczyć wielkość raty.

Odpowiedź

Jest to problem znalezienia wartości renty przy znanej wartości przyszłej gotówki, którą należy zgromadzić:

Rentowność i dyskonto bonów skarbowych

Przypomnienie formuł:

Rentowność (stopa rentowności, dochodowość, stopa dochodowości)

re = %,

Dyskonto (stopa dyskonta, dyskonto handlowe: dokładna liczba dni d, rok ma 360 dni)

dy = %

-    P1 – cena zapłacona za bon skarbowy,

P2 – wartość nominalna bonu skarbowego (wartość w dniu wykupu, będziemy przyjmować P2 = 100zł),

d – liczba dni od daty zakupu przez inwestora do daty wykupu przez wierzyciela (emitenta),

360 – liczba dni w roku według standardu rynkowego obowiązującego w Polsce).

PRZYKŁAD 1

Inwestor nabywa bony skarbowe o wartości nominalnej 1,5 mln złotych i 182-dniowym terminie do wykupu po cenie 90,6 za 100. Należy obliczyć:

Jaką kwotę musi zapłacić za zakupione bony?

Jaka jest rentowność nabytych instrumentów?

Z jakim dyskontem nabył papiery wartościowe.

Odpowiedź

Kwota: zł.

                                               Dochód = 1 500 000 – 1 359 000 = 131 000 zł.

Rentowność (stopa rentowności) w skali roku: 

Dyskonto (stopa dyskonta)  w skali roku:

BS (cd) i OBLICZENIA ZWIĄZANE Z OBLIGACJAMI

...