W9.pdf

(111 KB) Pobierz
wyklady.dvi
1 Definicja
F ′ (x)
f (a, b)
f(x) x
(a, b)
F
(− cos x) ′ = −(− sin x) = sin x
x ∈
R
x → − cos x + 5
(− cos x + 5) ′ = sin x
∀x.
3 T WIERDZENIE
F
f
I
G : x → F (x) + C
C ∈
R
f I
f I
F () + C
C ∈
R
4 T WIERDZENIE
6 Definicja
f
{F () + C : C
∈
}
F
f
f
f(x)dx
x a dx =
x a+1
a + 1
f(x)dx = F (x) + C, F ′ (x) = f(x).
a = −1 x ∈
R +
a
x ∈
R
x = 0
7 Przykład
dx = x + C
d √
√
x = 2
x + C x ∈
R +
dx
x 2
= − 1
x + C x = 0
2 Przykład
5 Przykład
R
47713887.021.png 47713887.022.png 47713887.023.png
dx
x
= ln |x| + C x = 0
e x dx = e x + C
a x dx =
a x
ln a + C a ∈
R
\ {1}
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
tg x dx = ...
ctg x dx = ...
dx
sin 2 x = − ctg x + C sin x = 0
dx
= arcsin x + C 1 = − arccos x + C 2
−1 < x < 1
1 − x 2
dx
x 2 + 1 = arctg x + C 1 = − arcctg x + C 2
sinh x dx = cosh x + C
cosh x dx = sinh x + C
dx
cosh 2 x = tgh x + C
dx
sinh 2 x = − ctgh x + C
8 T WIERDZENIE
f
′
I
f(x)dx
= f(x)
x ∈ I
dx
cos 2 x = tg x + C cos x = 0
√
47713887.024.png 47713887.001.png 47713887.002.png
9 Przykład
sin x dx = − cos x + C, C ∈
R,
(− cos x + C) ′ = sin x.
+
C
10 T WIERDZENIE
f
C ∈
R,
I
11 Przykład
x ∈ I
(sin x) ′ = cos x,
cos x dx = sin x + C,
C ∈
R.
12 T WIERDZENIE
[f(x) + g(x)]dx =
f(x) dx +
g(x) dx
[a f(x)]dx = a
f(x) dx.
13 Przykład
n
n
n
n
a k x k+1
k + 1
a k x k
dx =
a k x k dx =
a k
x k dx =
k=0
k=0
k=0
k=0
(2x 2 − 3x + 1)dx = 2
3 x 3 − 3
2 x 2 + x + C
(7x 6 − 6x 5 + 5x 4 − 4x 3 + 3x 2 − 2x + 1)dx = x 7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x + C
(3x 3 + x 2 − x − 1)dx = 3x 4
4
+ x 3
3
− x 2
2
− x + C
f ′ (x) dx = f(x) + C,
47713887.003.png 47713887.004.png 47713887.005.png
14 Przykład
√
x − x 2 3
√
x)
x(x 1/2 − x 2 x 1/3 )
x 1/4
x x 1/2 − x x 2 x 1/3
x 1/4
√
dx =
dx =
dx
4
x
=
x 1+1/2 − x 1+2+1/3
x 1/4
dx =
x 3/2−1/4 − x 10/3−1/4
dx =
x 5/4 − x 37/12
dx
=
x 5/4 dx −
x 37/12 dx = x 9/4
9/4
− x 49/12
49/12 + C = 4
9 x 2 4
√
x − 12
49 x 4 12
√
x + C
15 T WIERDZENIE
u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −
u ′ (x)v(x) dx.
u v
(u(x)v(x)) ′ = u ′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x).
q
16 Przykład
x 2 ln x dx =
u = ln x
v ′ = x 2
u ′ = 1/x
v = x 3 /3
= x 3
3
ln x −
x 3
3x dx
= x 3
3
ln x −
x 2
3
dx = x 3
3
ln x − x 3
9
+ C
+
C
x 2 cos x dx =
u = x 2
v ′ = cos x
u ′ = 2x
v = sin x
= x 2 sin x − 2
x sin x dx
=
u = x
v ′ = sin x
u ′ = 1
v = − cos x
= x 2 sin x − 2
−x cos x −
(− cos x)dx
= x 2 sin x + 2x cos x − 2
cos x dx = x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
e x cos x dx =
u = e x
v ′ = cos x
u ′ = e x
v = sin x
= e x sin x −
e x sin x dx
=
u = e x
v ′ = sin x
u ′ = e x
v = − cos x
= e x sin x −
−e x cos x +
e x cos x dx
= e x (sin x + cos x) −
e x cos x dx
x(
47713887.006.png 47713887.007.png 47713887.008.png 47713887.009.png 47713887.010.png 47713887.011.png
e x cos x
e x cos x dx = e x (sin x + cos x) −
e x cos x dx.
e x cos x dx = e x (sin x + cos x) −
e x cos x dx + C.
e x cos x dx = e x (sin x + cos x)
2
+ C.
+
C
v ′
17 T WIERDZENIE
f : I →
R
I
g : J
→ I
J
f(x)dx =
f (g(t)) g ′ (t) dt = F (g(t)) + C,
F
f
18 Przykład
tg x dx =
sin x
cos x dx =
u = cos x
u ′ = sin x
=
du
u
= ln |u| + C = ln | cos x| + C
√
x 2 − 1 dx =
u = x 2 − 1
u ′ = 2x
=
d √
u = 2
√
u = 2
x 2 − 1,
x 2 − 1 > 0
+
du = u ′ dx
19 Przykład
2
2x − 3
t 2 = 2x − 3
2t dt = 2dx
√
3
dx
t dt
t
√
x > 3
2
√
2x − 3 =
4
5
=
=
dt = t+C =
2x − 3+C,
2x
t =
47713887.012.png 47713887.013.png 47713887.014.png 47713887.015.png 47713887.016.png 47713887.017.png 47713887.018.png 47713887.019.png 47713887.020.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin