Zasada zmiany pędu (zasada zmiany ilości ruchu).pdf

(677 KB) Pobierz
4. Zasada zmiany pędu (zasada zmiany ilości ruchu)
Zasada zmiany pędu dla układu ciał stałych ma postać:
∑∑
r
r
d
m
=
P
,
dt
gdzie:
m
−
masy poszczególnych ciał,
r
U
−
ich prędkości,
r
∑ −
P
suma sił zewnętrznych wywołująca zmianę pędu,
W przypadku ciągłego ośrodka płynnego zasadę zmiany pędu można zapisać w postaci:
∑
r
r
d
∫
dm
U
=
P
,
dt
gdzie:
dm
−
masy poszczególnych elementów płynu
Rozpatrzmy powierzchnię kontrolną S obejmującą objętość V płynu jak przedstawiono to na
rysunku. Na masę tę mogą działać następujące siły:
- grawitacyjne (często można je pominąć),
- wypadkowa sił ciśnieniowych wywieranych przez otaczającą masę płynu lub ściany
przewodu stanowiące część powierzchni kontrolnej S , ( ∫∫
p r
−
dS
), znak minus wynika stąd,
S
że siły te działają na rozpatrywaną masę płynu (objętą powierzchnią S ) ze zwrotem
przeciwnym do wektora jednostkowego n r kierunku normalnego elementarnego pola dS ,
r
∫∫
-
od zmiany prędkości (
ρU
dS
⋅
U
),
n
S
r
).
Stosując zasadę pędu dla przepływów możemy napisać ogólne równanie zmiany pędu, jakiej ulega
masa płynu przepływająca w czasie dt przez obszar objęty powierzchnią S :
- siły zewnętrzne (
P
r
r
r
∫∫
∫∫
ρU
dS
⋅
U
=
−
p
dS
+
P
,
n
z
S
S
gdzie:
ρU n
dS
−
wydatek masowy,
n r wektor jednostkowy, normalny do powierzchni S ,
−
−
r
U
prędkość.
Reakcja strumienia płynu na powierzchnię kontrolną będzie równa siłom zewnętrznym ze znakiem
minus:
R −
=
P
.
56
972195879.025.png 972195879.026.png
 
Rozpatrzmy kilka najczęściej spotykanych przypadków zastosowania zasady zmiany pędu do
wyznaczenia siły reakcji hydrodynamicznej na ciało stałe:
a) Strumień objętości płynu Q przepływa przez zakrzywiony przewód o zmiennym przekroju
(kolano). Powierzchnią kontrolną będzie ścianka przewodu (Rys. 4.1). Wzór na reakcję
będzie mieć postać (forma wektorowa)
r
r
r
r
r
r
R
=
ρQ(
U
−
U
)
+
P
+
P
+
G
1
2
1
2
gdzie:
r
P
−
siła ciśnieniowa w przekroju 1-1 ,
r
P
−
siła ciśnieniowa w przekroju 2-2 ,
r
G
−
ciężar płynu w rozpatrywanym przewodzie.
Rys. 4.1
Rys. 4.2
b) Dla przepływu prostoosiowego pionowego przez dyfuzor (zmiana przekroju poprzecznego)
(Rys. 4.2)
) G
(
R
=
p
S
−
p
S
−
ρQ
U
−
U
−
.
2
2
1
1
1
2
c) Dla swobodnego strumienia wypływającego stycznie na ściankę nieruchomą, zakrzywiona
(Rys. 4.3):
)
)
(
(
R
=
ρQ
U
−
U
=
ρQU
1
−
cosα
,
x
1x
2x
(
) ρQUsinα
R
=
ρQ
U
−
U
=
−
y
1y
2y
2
x
2
y
R
=
R
+
R
.
Rys. 4.3
Rys. 4.4
Rys. 4.5
57
972195879.027.png 972195879.001.png 972195879.002.png 972195879.003.png 972195879.004.png 972195879.005.png 972195879.006.png
d) Dla swobodnego strumienia wypływającego na ściankę płaską nieruchomą, ustawioną
prostopadle do prędkości strumienia (Rys. 4.4):
R
=
0,
R
=
R
=
ρQU
.
y
x
Jeśli ścianka jest pochyła (Rys. 4.5), to
R
=
0,
R
=
ρQUsinα
.
t
n
Wydatki:
Q
Q
(
)
(
)
Q
=
1
+
cosα
,
Q
=
1
−
cosα
.
1
2
2
2
e) Oddziaływanie strumienia na powierzchnie ruchome.
Dla ścianki prostopadłej poruszającej się z prędkością u , której kierunek jest zgodny z
kierunkiem prędkości strumienia (Rys. 4.6),
(
)
2
U
−
u
R
=
ρQ
.
U
Rys. 4.6
Rys. 4 .7
Dla ścianki zakrzywionej (Rys. 4.7):
(
) (
2
U
−
u
)
R
=
ρQ
1
−
cosα
,
x
U
(
) sinα
2
U
−
u
R
=
−
ρQ
.
y
U
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 4.1 (poz. bibl. [6], zad. 3.3.5, str. 51)
Ciecz doskonała o gęstości ρ wypływa z dyszy o
średnicy D z prędkością U unosząc ściankę której
ciężar wynosi G . Na jakiej wysokości H ścianka
pozostanie w równowadze? Zadanie rozwiązać dla
dwóch przypadków: ścianki płaskiej, oraz ścianki o
kształcie czaszy kulistej.
Dane:
Wyznaczyć:
ρ , D, U, G
H
58
972195879.007.png 972195879.008.png 972195879.009.png 972195879.010.png 972195879.011.png 972195879.012.png
 
Rozwiązanie:
W stanie równowagi, napór hydrodynamiczny R musi zrównoważyć ciężar ścianki G , czyli:
R =
G
Dla ścianki płaskiej:
R =
ρQU
1
Prędkość U 1 wyznaczamy z równania Bernoulli’ego, odniesionego do przekrojów 0 i 1 :
2
2
U
p
U
p
+
0
+
0
=
1
+
1
+
H
,
2g
γ
2g
γ
w którym:
p
=
p
=
p
,
0
1
a
zatem:
2
U
=
U
−
2gH
1
2
Podstawiając do zależności
R =
ρQU
wzór
U
=
U
−
2gH
oraz wiedząc, że:
1
1
2
πD
Q
=
U
,
4
otrzymamy:
πD
2
2
G
=
R
=
ρ
U
U
−
2gH
,
4
skąd wysokość:
2
1
4G
2
H
=
U
−
.
2
2g
πD
ρU
Dla ścianki półkolistej:
)
) .
(
(
−=
Prędkości U 1 i U 2 wyznaczamy analogicznie, jak dla ścianki płaskiej, a zatem:
2gH
R
ρQ
U
−
U
1
2
2
U
=
U
=
U
−
,
1
2
stąd:
πD
2
2
G
=
R
=
ρ
U
U
−
2gH
,
2
wobec tego szukana wysokość H wynosi:
2
1
2G
2
H
=
U
−
.
2
2g
πD
ρU
59
972195879.013.png 972195879.014.png 972195879.015.png 972195879.016.png 972195879.017.png 972195879.018.png
 
Zadanie 4.2 (poz. bibl. [6], zad. 3.3.3, str. 51)
Przez przewód z kolanem o średnicy D = 80 mm przepływa
woda ze strumieniem objętości Q = 0,08 m 3 s -1 . Pomijając
straty, obliczyć napór strumienia wody na ścianki przewodu.
Część dopływowa kolana usytuowana jest pod kątem α 1 = π/6
względem poziomu, a wypływowa – pod kątem α 2 = π/3. W
przekroju dopływowym i wypływowym panuje ciśnienie
otoczenia p a . Tarcie pominąć.
Dane:
Wyznaczyć:
D = 80 mm
R
Q = 0,08 m 3 s -1
α 1 = π/6
α 2 = π/3
p a
Rozwiązanie:
Składowe naporu hydrodynamicznego odpowiednio wynoszą:
(
)
R
=
ρQ
U
−
U
,
x
1x
2x
(
)
R
=
ρQ
U
−
U
,
y
1y
2y
gdzie:
U =
Ucosα
,
1x
1
U
=
−
Ucosα
,
2x
2
U =
Usinα
,
1y
1
U =
Usinα
,
2y
2
stąd:
)
(
R
=
ρQU
cosα
+
cosα
,
x
1
2
)
(
R
=
ρQU
sinα
−
sinα
.
y
1
2
Podstawiając:
4Q
U =
,
2
πD
otrzymamy:
2
4ρ
Q
(
)
R
=
cosα
+
cosα
x
1
2
πD
2
2
4ρ
Q
(
)
R
=
sinα
−
sinα
.
y
1
2
πD
2
Napór całkowity (wypadkowy):
2
x
2
y
R
=
R
+
R
,
czyli:
2
2
4ρ
Q
4ρ
Q
(
) (
)
(
(
)
)
2
2
R
=
cosα
+
cosα
+
sinα
−
sinα
=
2
1
+
cos
α
+
α
.
1
2
1
1
1
2
2
2
πD
πD
Suma kątów:
π
π
π
α
+
α
=
+
=
,
1
2
6
3
2
zatem:
60
972195879.019.png 972195879.020.png 972195879.021.png 972195879.022.png 972195879.023.png 972195879.024.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin