5.     Podstawowe metody rozwiązywania ustrojów prętowych statycznie niewyznaczalnych.

Kinematyczna analiza konstrukcji

Geometryczna i chwilowa niezmienność – taki układ połączonych ze sobą tarcz w którym nie może nastąpić wzajemne przemieszczenie się jego części bez ich deformacji.

    Stopnie swobody= 3                             n = 1                                                   s = 0                                    układ chwilowo chwiejny           

                n = 3

S = 3T - P - 2R

T – liczba tarcz → s = 3T

P – liczba prętów podporowych → s = - P

R – liczba przegubów → s = - 2R

if   s = 0 – układ kinematycznie niezmienny (ma niezbędną liczbę stopni)  - eliminujemy źle usytuowane

if   s < 0 – układ ma więcej niż trzeba więzi do utrzymania kinematycznej niezmienności

if  s > 0 – to układ jest geometrycznie zmienny

Liczba więzi nadliczbowych określana jest przez „n”

       n = - s   -stopień niewyznaczalności układu

                            n = a + p + s – 2w

                               a – liczba niewiadomych podporowych

                               p – liczba prętów

                               s -  liczba zesztywnień

                               w – liczba przegubów

n = (2+1+1+1)+3+2-2•4 =

Procedura postępowania w metodzie sił

•   n = ?  (st. niewyznaczalności)

•   przyjmujemy układ podstawowy metody sił UPMS

•   zbudow. ukł. równań  (model matematyczny) dla n- niewiadomych

¶11x1 + ¶12x2 + ... + ¶1nxn + D1p = 0

¶21x1 + ¶22x2 + ... + ¶2nxn + D2p = 0

    :            :                  :         :                        n- równań

¶n1x1 + ¶n2x2 + ... + ¶nnxn + Dnp = 0                n- niewiadomych

                        [¶]  {X} + {DP} = {0}

macierz podatności      wektor obciążeń

¶11 ¶12 ..... ¶1n          x1                 DP1                  0

¶21 ¶22 ..... ¶2n            x2     +         DP2      =          0

  :     :         :             :                   :                      :

¶n1 ¶n2 ..... ¶nn           xn               DPn                   0

·   wyznaczenie   M  ,  Mp

·   wyznaczenie współczynników w macierzy podatności ¶ij , Dij

·   rozwiązywanie układu równań

·   wyznaczenie ostatecznie M , Q , N

              M(1)ost =  M(n)1 X1 + M(n)2 X2 +...+ M(n)n Xn + M(n)p

·   zaakceptować wyniki (sprawdzenie)

           1. S ò

           1a. Szczególny przypadek ( kon. zamknięta)

                if   EJ = const    

                if   EJ ¹ const     

2.      w każdym węźle ma być równowaga 

2a.   To samo dla sił     

3.      równowaga piętra (tam gdzie w piętrze nie ma podpór)

Schematy polowkowe

Całkowanie graficzne

UPMS

M – od siły jednostkowej

Z układu równań mamy x1, x2

Most = Mp  + M1x1 + M2x2

Ostatecznie

                   Most

                                                                                           +  sprawdzenie.

Podstawowe schematy

Wykorzystamy fakt że:   symetria ´ antysymetria = 0

n = 9+4+3-2×5 = 3

Metoda przemieszczeń

Procedura

-          wyznaczenie stopnia kinematycznej (i geometrycznej) niezmienności

-          UPMP

-          Układ równań MP

-          Wyliczenie współczynnika rij , Rip (czyli rozwiązanie równań i wyznaczenie j i D)

-          Wyznaczyć M]

-          Wyznaczyć Most , Nost                Most = M1j1 + M2j2 + Mp   ,  nk = 2.

-          Sprawdzenie wykresu Most

Pręt płaski

Zależność między siłami węzłowymi a przemieszczeniami

Vi                                                      vi

fzi                        K                           jzi                       

Vk                                        ·             vk

fzk                                                     jzk

siły                 macierz                  przemieszczenia

węzłowe         zależności               węzłów

Macierz  .................

    -

      -  

-

    -  

Przykład.