Temat18_Dowodzenie.pdf

18. DOWODZENIE II: REGUŁA

∀

WPR

18.1. Wprowadzenie

Wpr polega na tym, że z jednej strony musimy ją dołączyć do systemu, a z drugiej

strony jest to reguła, która zachowuje prawdziwość przesłanek tylko w ściśle określonych warunkach i

musi być w związku z tym obwarowana pewnymi ograniczeniami. Gdyby ograniczeń takich nie było

można byłoby dokonywać następujących inferencji:

∀

Dziedzina: ludzie

a := _________________________ [wpisz swoje imię i nazwisko]

Ix := x jest inteligentny

∀

x Ix

Rozumowanie to jest ewidentnie nieprawidłowe – zaczynamy od prawdziwych przesłanek a kończymy

na fałszywym wniosku. Kontrprzykładów dla tezy, że rozumowania tego kształtu są prawidłowe można

byłoby mnożyć:

Otylia Jędrzejczak zdobyła złoty medal olimpijski w pływaniu.

Zatem, wszyscy zdobyli złoty medal olimpijski w pływaniu.

Jolanta Kwaśniewska jest kobietą.

Zatem, wszyscy są kobietami.

Okazuje się jednak, że reguła wprowadzania generalizatora pełni ważną rolę w dowodach – pod

warunkiem m.in. że stosuje się ją do tzw. indywiduów arbitralnych, tj. indywiduów, które występują

tylko wewnątrz dowodu i które pozwalają nam na rozebranie zdań w najbardziej wyczerpujący sposób.

18.2. Cele

zrozumienie potrzeby wprowadzenia restrykcji dla reguły

∀

Wpr

opanowanie graficznej interpretacji restrykcji dla reguły

∀

Wpr

umiejętność stosowania reguły

∀

Wpr

18.3. O regule

∀

Wpr i o indywiduach arbitralnych

Rozważmy następujące rozumowanie:

Wszystkie małpy tworzą rodziny lub stada.

Wszystkie makaki są małpami.

Żadne makaki nie tworzą rodzin.

Wszystkiemakakiżyją w stadach.

Wnioskowanie to jest prawidłowe. Przyjrzyjmy się logicznej strukturze tych zdań:

18-1

Samouczek logiki zdań i kwantyfikatorów (wersja wstępna)

Wszelkie prawa zastrzeżone

Uwagi proszę kierować na adres:

Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl

Kłopot z regułą

(1)

Dla każdego x , jeżeli x jest małpą, to albo x jest członkiem rodziny, albo x jest

członkiem stada.

Dla każdego x , jeżeli x jest makakiem, to x jest małpą.

Dla każdego x jeżeli x jest makakiem, to nieprawda, że x jest członkiem rodziny.

(2)

(3)

Dla każdego x , jeżeli x jest makakiem, to x jest członkiem stada.

Weźmy pod uwagę dowolnego makakę. Na mocy (2) jest on z pewnością małpą. Na mocy (1) musi on

być albo członkiem rodziny albo członkiem stada. Na mocy (3) nie jest on członkiem rodziny. A zatem

ponieważ musi on być albo członkiem rodziny albo stada, a nie może być członkiem rodziny, więc

musi on być członkiem stada. Ponieważ rozważaliśmy dowolnego, arbitralnie wybranego, makakę,

więc nasz wniosek będzie się stosować do wszystkich makak.

We wnioskowaniu tym odwołaliśmy się do dowolnego, arbitralnie wybranego makaki. W rzeczy

samej, zastosowanie reguły

∀

Wpr będzie wymagało odwołania się do indywiduów arbitralnych.

18.3.1. Indywidua arbitralne

Powyższe wnioskowanie odwołuje się do indywiduum arbitralnego, postulowanego tylko na potrzeby

danego dowodu. Znaczy to w szczególności, że indywidua arbitralne nie mogą występować ani w

przesłankach pierwotnych ani we wniosku dowodu – mogą być postulowane tylko wewnątrz dowodu.

Aby podkreślić specjalny charakter reguły

∀

Wpr (a jak zobaczymy w następnym rozdziale również

Elim) oraz indywiduów, które są przez tę regułę zakładane, będziemy odwołując się do

indywiduów arbitralnych stosować odrębne symbole: ⓐ , ⓑ , ⓒ , ….

Aby uniknąć pomyłek przyjmiemy konwencję, że wprowadzamy do dowodu tylko takie indywidua

arbitralne, których nazwy nie pomylą się z nazwami występujących w dowodzie indywiduów. Jeżeli

np. w dowodzie mowa jest o indywiduum a , to nie wprowadzimy indywiduum arbitralnego ⓐ , lecz

indywiduum ⓑ .

Każde zastosowanie reguły wymagającej postulowanie indywiduów arbitralnych wymaga

zapostulowania nowego indywiduum arbitralnego. Jeżeli w dowodzie zastosowaliśmy już regułę

∃

Wpr

jednokrotnie, co wymagało zapostulowania indywiduum arbitralnego ⓐ , to w kolejnym zastosowaniu

reguły

∀

Elim, jak zobaczymy w następnym temacie), trzeba będzie

wprowadzić inne indywiduum arbitralne ⓑ (o ile nie występuje nigdzie w dowodzie indywiduum b ).

Jeżeli reguła

∀

Wpr (a również reguły

∃

Wpr stosowana jest trzykrotnie, to do dowodu trzeba wprowadzić trzy różne indywidua

arbitralne. Jeżeli trzeba raz zastosować regułę

∀

Wpr a następnie regułę

Elim, to do dowodu trzeba

wprowadzić dwa różne indywidua arbitralne.

Indywidua arbitralne zachowują się zupełnie normalnie – tj. tak samo jak pozostałe indywidua – jeżeli

chodzi o reguły

∀

Elim i

∃

Wpr oraz wszystkie reguły systemu ZD. Jeżeli dane jest dowolna

generalizacja np.:

(1)

∀

x ( Px

→

( Qx

→

Nx ))

to wolno zastosować regułę

∀

Elim podstawiając nazwę indywiduum arbitralnego za zmienną x .

(2) P ⓐ

→

( Q ⓐ

→

N ⓐ )

∀

Elim (1)

Podobnie jeżeli dane jest pewne zdanie indywiduowe traktujące o indywiduum arbitralnym – takie jak

(2) – to wolno zastosować regułę

∃

Wpr:

(3)

∃

x ( Px

→

( Qx

→

Nx ))

∃

Wpr (2)

Podsumujmy to, co powiedzieliśmy do tej pory o indywiduach arbitralnych:

• Indywidua arbitralne są indywiduami teoretycznymi, postulowanymi na potrzeby dowodu

• Ani przesłanki pierwotne, ani wniosek dowodu nie mogą zawierać nazwy jakiegokolwiek

indywiduum arbitralnego.

• Każde zastosowanie zarówno reguły

∀

Wpr jak i reguły

Elim wymusza wprowadzenie do

dowodu nowego indywiduum arbitralnego.

• Nazwa wprowadzanego do dowodu indywiduum arbitralnego musi różnić się od nazw

wszystkich indywiduów występujących w dowodzie – zarówno w przesłankach, jak i we

wniosku.

Katarzyna Paprzycka, Samouczek (wersja wstępna): Temat 18. Dowodzenie

18-2

reguły

∃

• Reguła

Wpr stosują się bez zastrzeżeń również do indywiduów

arbitralnych; zdania o indywiduach arbitralnych zachowują się jak zdania indywiduowe

względem reguł system ZD.

∀

Elim oraz reguła

∃

18.3.2. Zakluczone indywidua arbitralne i ich komnaty

Aby ułatwić zadanie pamiętania o rozmaitych ograniczeniach, które ciążą na indywiduach arbitralnych

wprowadzimy dla nich specjalne graficzne »komnaty« 1 , w których indywidua te będą »zakluczone«.

Każde indywiduum ma swoją komnatę i żeby o tym pamiętać oznaczymy każdą komnatę nazwą tego

indywiduum w prawym górnym rogu.

ⓐ

Komnaty są swego rodzaju subderywacjami. Ogólną zasadą jest jednak to, że zakluczone w komnacie

indywiduum nie może się nigdy wydostać poza komnatę:

Zasada zakluczenia

Tylko zdania znajdujące się w komnacie dla indywiduum ⓐ mogą zawierać nazwę ‘ ⓐ ’.

Następujące zastosowanie reguły

∀

Elim będzie więc nieuprawnione, gdyż gwałci zasadę zakluczenia:

∀

x Bx

ⓐ

Elim do indywiduum arbitralnego ⓐ wolno wykonać, ale tylko

wewnątrz komnaty, w której ⓐ jest zakluczone.

Komnaty – podobnie jak subderywacje – mogą być w sobie zagnieżdżone.

∀

x Bx

W tym wypadku mamy do czynienia z sytuacją, gdzie

komnata dla indywiduum ⓐ »gości« komnatę dla

indywiduum ⓑ oraz dla indywiduum ⓒ . Żadne

indywiduum arbitralne nie może opuścić komnaty, w

której jest zakluczone – jednakże indywiduum

arbitralne (np. indywiduum ⓐ) goszczące inne

indywiduum arbitralne (np. indywiduum ⓑ) może

wchodzić do komnat goszczonego indywiduum.

Zatem indywiduum ⓐ może pojawiać się zarówno w

komnacie dla indywiduum ⓑ jak i w komnacie dla

indywiduum ⓒ .

ⓐ

ⓑ

B ⓐ

∀

Elim 4

B ⓑ

∀

Elim 4

B ⓐ

∀

Elim 4

ⓒ

B ⓐ

∀

Elim 4

B ⓒ

∀

Elim 4

B ⓐ

∀

Elim 4

1 Zostały one wprowadzone w systemie Kennetha Mandersa.

Katarzyna Paprzycka, Samouczek (wersja wstępna): Temat 18. Dowodzenie

18-3

Krok ten, tj. zastosowanie reguły

Komnaty nie mogą się jednakże przecinać:

ⓐ

ⓒ

Podobnie sprawy się mają z subderywacjami. Subderywacje mogą występować wewnątrz komnat, oraz

komnaty mogą występować wewnątrz subderywacji, ale nie mogą się nawzajem przecinać.

ⓐ

Komnaty nie mogą też zawierać ani założeń pierwotnych dowodu (choć mogą zawierać założenia

wtórne poszczególnych subderywacji), ani wniosku ostatecznego dowodu.

Zasada wnętrza

Wniosek oraz założenia pierwotne dowodu muszą znajdować się poza jakąkolwiek

komnatą.

18.3.3. Reguła R oraz komnaty

Komnata dla reguły

∀

Wpr nie jest oparta na żadnych założeniach dodatkowych (w przeciwieństwie do

Elim, jak zobaczymy), dlatego regułę R można stosować do zdań znajdujących

się w komnacie skonstruowanej dla reguły

∃

Wpr pod warunkiem, że nie gwałci się zasady zakluczenia

oraz przestrzega innych ograniczeń reguły R.

∀

ⓐ

3 B ⓐ

ⓐ

x Bx

∃

x Bx

10 B ⓐ

∀

∃

x Bx

∃

x Bx

x Bx R7

∀

Katarzyna Paprzycka, Samouczek (wersja wstępna): Temat 18. Dowodzenie

18-4

komnaty dla reguły

18.4. Reguła

∀

Wpr (Reguła dołączania generalizatora)

Jeżeli w dowodzie macierzystym można skonstruować komnatę dla arbitralnego

indywiduum ⓐ oraz wyprowadzić w jej ostatnim wierszu zdanie indywiduowe

∀

: ⓐ

[ ⓐ /x ]

∀

Wpr i-j

nie może zawierać już indywiduum arbitralnego ⓐ – byłoby to

pogwałceniem zasady zakluczenia. Jak pamiętamy, w uzasadnieniach zdań wyprowadzanych za

pomocą reguł wymagających wprowadzenia subderywacji zawsze odwoływaliśmy się do całej

subderywacji. Podobnie jest w wypadku reguły

∀

Wpr, gdzie powołujemy się na ciąg wierszy

począwszy od pierwszego wiersza w komnacie do wiersza ostatniego.

∀

Wpr

Reguła wprowadzania generalizacji jest regułą konstrukcyjną. Zawsze, gdy chcemy wprowadzić

generalizację musimy najpierw skonstruować komnatę, a reguła

∀

Wpr – łącznie z ogólnymi zasadami

dotyczącymi indywiduów arbitralnych (por. §18.3) – ściśle determinuje , po pierwsze, jakie

indywiduum musi być zakluczone w tej komnacie, a po drugie, jakie musi być ostatnie zdanie w tej

komnacie (zawsze: instancja generalizacji, którą chcemy wyprowadzić, dla zakluczonego w tej

komnacie indywiduum).

∀

Ćwiczenia na stosowanie reguły

∀

Wpr

Wpr, aby

wyprowadzić pewną generalizację. Aby to zrobić trzeba skonstruować komnatę (została już

skonstruowana). Podaj jakie zdanie można wyprowadzić poza komnatą w wierszu 9.

Wpr.I.a. W każdym z poniższych „szkieletów dowodowych” trzeba zastosować regułę

∀

(a)

(b)

∀

: ⓐ

∀

: ⓐ

8 A ⓐ

8 ~A ⓐ

∀

x Ax

∀

Wpr 5-8

∀

x ~ Ax

∀

Wpr 5-8

(c)

(d)

∀

: ⓐ

∀

: ⓐ

8 B ⓐ

→

A ⓐ

8 ~B ⓐ

∨

( A ⓐ

→

B ⓐ )

∀

x ( Bx

→

Ax )

∀

Wpr 5-8

∀

x ( ~Bx

∨

( Ax

→

Bx ))

∀

Wpr 5-8

Katarzyna Paprzycka, Samouczek (wersja wstępna): Temat 18. Dowodzenie

18-5

[ ⓐ /x ],

to wolno zamknąć komnatę, a do dowodu macierzystego dołączyć wiersz, gdzie

(swobodnie) występuje generalizacja

Oczywiście generalizacja

Konstruowanie komnat dla Reguły

∀

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: