1. Modelowanie w wytrzymałości materiałów
Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od obiektu rzeczywistego poprzez model fizyczny, do modelu matematycznego. Model matematyczny jest to matematyczny opis zjawisk zachodzących w modelu fizycznym, podany w formie usystematyzowanych wzorów lub równań – algorytm. Do sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej istnieje potrzeba tworzenia modeli: -modele materiału; -model postaci (kształtu); -model obciążenia; -modele złomu.
2. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta.
Momenty bezwładności przekroju względem osi y i z:
Moment dewiacji przekroju pręta w płaszczyźnie yz:
Biegunowy moment przekroju względem punktu O:
Momenty statyczne przekroju względem osi y i z:
- współrzędne środka geometrycznego przekroju S (zwanego środkiem ciężkości).
3. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle.
Sxy – układ osi centralnych
Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych Oηz przesuniętym równolegle (twierdzenie Steinera)
4. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych obróconym.
5. Główne momenty bezwładności i główne osie bezwładności przekroju pręta.
Osie η=1, z=2 będą głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju.
Główne centralne momenty bezwładności przekroju
Inny sposób. Jeżeli w układzie prostokątnym Syz momenty bezwładności przekroju wynoszą Iy. Iż, zaś moment dewiacji Iyz,, to główne centralne momenty bezwładności I1, I2 są wartościami własnymi tensora momentów geometrycznych
6. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.
Warunki równowagi:
Warunki geometryczne:
ü Przemieszczenie osiowe elementu pręta dx: -górnego końca u; -dolnego końca u+du,
ü Długość elementu po odkształceniu dx+du,
ü Odkształcenie względne:
,
ü Przemieszczenie dolnego końca pręta:
ü Przypadek szczególny (e=const)
Zależności fizyczne:
W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke’a, które możemy zapisać w następującej postaci:
E – moduł sprężystości liniowej, moduł Younga, A – pole przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego
Przyjmując na powierzchni przekroju poprzecznego równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem:
naprężenia ściskające bądź rozciągające
Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke’a) w jednoosiowym stanie naprężeń:
7. Statyczna próba rozciągania.
Wykres zależności s(ε)podczas rozciągania próbki ze stali węglowej,
A- zakres stosowalności prawa Hooke’a (proporcjonalności); B- granica sprężystości – do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu obciążenia próbka wraca do poprzedniej konfiguracji; BCD- zakres odkształceń plastycznych; DK- umocnienie, niewielka zmiana odkształceń powoduje intensywny wzrost naprężeń; K- próbka osiągnęła naprężenia zrywające – wytrzymałość na rozciąganie – stała dla różnych materiałów konstrukcyjnych; L- zerwanie próbki.
Na podstawie wytrzymałości na rozciąganie określa się graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca konstrukcja. Te naprężenia dopuszczalne opisuje wzór:
, k – rozciąganie; n – współ. Bezpieczeństwa.
8. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego z uwzględnieniem ścinania w płaszczyźnie przekroju.
W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna stanu naprężeń, której skutkiem jest ścinanie ciała odkształcalnego w płaszczyźnie przekroju. Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że , czyli ;
Stąd:
Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyźnie przekroju nachylonym pod kątem 45° w kierunku rozciągania lub ściskania.
9. Pręt ściskany/rozciągany obciążeniem ciągłym.
Warunek równowagi elementu dx: -N+N+dN+qdx=0;
Siła normalna N:
A jej różniczka
Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych:
Warunki brzegowe:
10. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Naprężenia termiczne i montażowe.
Naprężenia termiczne powstają w wyniku ograniczenia przemieszczenia swobodnego końca pręta którego temperatura wzrosła o ∆T
Prawo rozszerzalności liniowej czyli zmiana długości o ∆l. pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy. Uniemożliwia to siła ściskająca N, która powoduje naprężenia termiczne:
Naprężenia montażowe powstają w wyniku korygowania różnic wymiarowych łączonych elementów konstrukcji
W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która powoduje naprężenia montażowe
11. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Układy statycznie niewyznaczalne.
Układ prętowy statycznie niewyznaczalny – nie można wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił wewnętrznych) na podstawie równań równowagi statycznej.
Procedura rozwiązywania: 1.Równania równowagi statycznej; 2.Określenie warunków geometrycznych; 3.Zalezności fizyczne.
12. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego siłą bezwładności.
- gęstość pręta ρ; - przyspieszenie a(x) w kierunku osi pręta
ü Warunek równowagi elementu dx
-N+N+dN+Aρa(x)dx=0
ü Siła bezwładności (d’Alemberta); dF=Aρa(x)dx
ü Siła normalna N
ü A jej różniczka
ü Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych
ü Warunki brzegowe
13. Skręcanie pręta prostego o przekroju kołowym. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.
Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta γ. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.
ü Warunki równowagi
gdzie:
ü Warunki geometryczne
dφ – kąt skręcenia
przy czym
ü Związki fizyczne
W przypadku skręcenia istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem skręcania (prawo Hooke’a dla ścinania):
τ – naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu; G – moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała tablicowana;
W dalszej kolejności wyznaczamy , a następnie z warunku równowagi:
Is – biegunowy moment bezwładności przekroju
14. Skręcanie pręta prostego momentem ciągłym.
ü Warunek równowagi
-Ms+MS+dMs+m(x)dx=0
ü Moment skręcający
ü Różniczka momentu skręcającego
ü Równanie różniczkowe kąta skręcenia
15. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym i prostokątnym.
Nie ma zastosowania hipoteza płaskich przekrojów. Przekrój wypaczony (deplanacja). Osie elipsy: 2a, 2b
Przewidujemy funkcję naprężeń Prandtla , która spełnia równanie Poissona .
Wyznaczamy stałą C z równania , czyli .
Wskaźnik sztywności
Jednostkowy kąt skręcenia
Wskaźnik przekroju eliptycznego
h>b
, współczynniki K są wartościami tablicowanymi.
16. Zginanie belek. Zależności różniczkowe przy zginaniu. Twierdzenie Schwedlera
Belka – pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.
Moment gnący Mg – suma algebraiczna momentów obciążeń zewnętrznych działających w płaszczyźnie przekroju belki.
Siła poprzeczna (tnąca) T – suma algebraiczna składowych sił zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w płaszczyźnie przekroju belki po lewej stronie rozważanego przekroju poprzecznego belki.
Zginanie równomierne -
Zginanie równomierne (czyste) - - belki o dużej rozpiętości.
Ścinanie pręta - - belki o bardzo małej rozpiętości
ü Zależności różniczkowe przy zginaniu
Warunki równowagi elementu belki:
-T+qdx+(T+dT)=0
Mg+Tdx-(Mg+dMg)-qdx·
(dx/2)=0
ü Twierdzenie Schwedlera
17. Zginanie belek. Założenia czystego zginania. Naprężenia normalne w przekroju zginanym.
Założenia czystego zginania
1. Hipoteza płaskich przekrojów – zaznaczone przekroje nie zmieniają się co do kształtu, każdy przekrój poprzeczny ciała odkształcalnego pozostaje w jednej płaszczyźnie; 2. Podczas czystego zginania występuje oś obojętna. Włókna leżące powyżej tej osi są rozciągane natomiast włókna leżące poniżej tej osi są ściskane; 3. Naprężenia w belce zginanej przyjmują rozkład liniowy.
Naprężenia (normalne) przy zginaniu
Wy – wskaźnik wytrzymałości na zginanie.
Elementy zginane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku naprężeń dopuszczalnych na zginanie:
18. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 2-go rzędu.
Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać:
gdzie: C i D – stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych.
19. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 4-go rzędu.
Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe czwartego rzędu o postaci:
Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych: ugięć υ(x), kątów ugięcia φ(x), oraz wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące Mg(x), i siły tnące T(x) na końcach belki (dla x=0 i x=l).
Momenty gnące Mg(x) w funkcji ugięć υ(x) opisuje zależność:
Natomiast siły tnące T(x) w funkcji ugięć υ(x) można przedstawić jako:
20. Ugięcie belki. Metoda Clebscha.
...
Foxed