Urbański P - Analiza Zespolona.Uzupełnienie.pdf
(
174 KB
)
Pobierz
+
Analiza Zespolona I, uzupełnienie
1. Zasada argumentu.
We wzorze na liczb¦ zer i biegunów mamy calk¦ z formy
f
0
f
dz. Zauwa»my, ze forma ta jest
ró»niczk¡ d log f. Wprawdzie funkcja log f jest niejednoznaczna, to jej ró»niczka ju» jest. Z
definicji logarytmu mamy log f(z) = log|f(z)|+i arg f(z) i st¡d d log f = d log|f|+id arg f.
Całka z pierwszego składnika po konturze zamkni¦tym znika, a całka z drugiego jest równa
przyrostowi argumentu f(z) wzdłu» konturu. St¡d wzór na liczb¦ zer i biegunów mo»emy
zinterpretowa± jako
Zasada argumentu. Niech f 2 M() b¦dzie ró»na od funkcji zerowej i niech b¦dzie
obszarem spójnym. Je»eli D jest zwartym obszarem z brzegiem takim, »e @D nie
zawiera zer ani biegunów funkcji f, to ró»nica sumy krotno±ci zer funkcji f le»¡cych w D
i sumy rz¦dów biegunów N
p
funkcji f le»¡cych w D, jest równa zmianie argumentu f(z)
wzdłu» @D.
2. Problemy Cousina.
Wiemy, »e ka»dy wielomian w mo»na przedstawi¢ jako iloczyn dwumianów (z−a
i
), gdzie
a
i
jest pierwiastkiem w, oraz stałej. Na stał¡ nale»y patrze¢ jak na wielomian, który nigdzie
nie jest równy zero. Z drugiej strony, ka»da funkcja wymierna da si¦ przedstawi¢ jako suma
wielomianu i ułamków prostych. Zwró¢my uwag¦, »e w rozkładzie funkcji wymiernej na
ułamki proste (wersja zespolona)
X
k
X
P(x)
Q(x)
ij
(x−a
i
)
= W(x) +
i
j=1
skladnik
P
k
i
j=1
ij
(x−a
i
)
jest jest cz¦±cia główn¡ rozwini¦cia Laurenta wokół a
i
- pozostałe
składniki s¡ holomorficzne w a
i
i otoczeniu. Zajmiemy si¦ teraz podobnymi rozkładami dla
funkcji holomorficznych i meromorficznych. Poniewa» b¦d¡ wyst¦powały sumy i iloczyny
niesko«czone, trzeba najpierw uzupełni¢ nasz¡ wiedz¦ dotycz¡c¡ przestrzeni funkcji anali-
tycznych i meromorficznych.
2.1. Zupełno±¢ przestrzeni funkcji analitycznych. Twierdzenie Weierstrassa.
Twierdzenie 1 (Weierstrass). Niech b¦dzie obszarem w C, a D zwartym ob-
szarem z brzegiem @D. Je»eli ci¡g f
n
2 A() jest zbie»ny jednostajnie na @D, to jest te»
zbie»ny jednostajnie na D i granica jest funkcj¡ holomorficzn¡ wewn¡trz D.
Dowod: Niech f
n
! f jednostajnie na @D. Funkcja f
n
−f
m
jest holomorficzna w , wi¦c
sup
z2D
|f
n
(z) −f
m
(z)| jest osi¡gane na brzegu @D. Zatem (f
n
) jest ci¡giem Cauchy’ego w
metryce jednostajnej, wi¦c zbie»nym do funcji ci¡głej f. Oczywi±cie f = f na @D. We¹my
z 2 Int D. Z wzoru całkowego Cauchy’ego i ze zbie»no±ci jednostajnej (f
n
),
Z
Z
f()
( −z)
d = f(z).
1
2i
( −z)
d −!
1
f
n
()
f
n
(z) =
2i
@D
@D
Funkcja f jest wi¦c, wewn¡trz D, zadana wzorem
Z
f()
( −z)
d,
1
2i
f(z) =
@D
a zatem (ró»niczkowanie pod znakiem całki) holomorficzna. Korzystaj¡c jeszcze raz z wzoru
całkowego (dla pochodnych) dostajemy, »e f
(k
n
! f
(k)
niemal jednostajnie we wn¦trzu D.
1
Wniosek 1. Je»eli ci¡g funkcji holomorficznych w jest zbie»ny niemal jednostajnie do f,
to funkcja f jest holomorficzna w i zbie»no±¢ jest niemal jednostajna wraz ze wszystkimi
pochodnymi.
Z twierdzenia o warto±ci ±redniej mamy nawet wi¦cej: wystarczy zbie»no±¢ w sensie całki
np. Lebesgue’a.
Podsumowanie:
(1) Przestrze« A() jest zupełna ze wzgl¦du na zbie»no±¢ niemal jednostajn¡.
(2) Zbie»no±¢ niemal jednostajna jest równowa»na zbie»no±ci niemal jednostajnej ze
wszystkimi pochodnymi.
Dla = C funkcja holomorficzna ma rozwini¦cie Taylora w zerze, wi¦c jest granic¡ niemal
jednostajn¡ wielomianów. Dla jednospójnego mamy twierdzenie Rungego.
Twierdzenie 2 (Runge). Niech b¦dzie obszarem jednospójnym i niech f 2A(). Dla
ka»dego zbioru zwartego K i ka»dego " > 0 istnieje wielomian P taki, »e
sup
z2K
|f(z) −P(z)| < ".
Uwaga! Twierdzenia Rungego nie nale»y myli¢ z Twierdzeniem Stone’a. W twierdzeniu
Stone’a (wersja dla funkcji o warto±ciach zespolonych) mamy przybli»anie funkcji ci¡głych
(wi¦c i holomorficznych) wielomianami, ale od z i z !
2.2. Rozkład na ułamki proste. Pierwszy problem Cousina.
Rozpatrzmy najpierw taki problem (Pierwszy problem Cousina):
Niech b¦dzie obszarem w C i (a
i
) ci¡giem ró»nych punktów w , bez punktu skupienia
w . Czy istnieje funkcja meromorficzna w z biegunami w (a
i
) (i tylko tam), o zadanych
cz¦±ciach głównych
n
X
1
(z−a
i
)
k
P
i
(z) =
c
−k,i
k=1
rozwini¦¢ Laurenta.
Pozytywn¡ odpowied¹ daje twierdzenie Mittag-Leera.
2.3. Dowód twierdzenia Mittag-Leera.
Dowod: Dowód przeprowadzimy w przypadku = C. Dla dowolnego obszary dowód jest
ideowo taki sam, ale technicznie znacznie bardziej skomplikowany. Przypadek ci¡gu sko«-
czonego jest trywialny: wystarczy wzi¡¢ sum¦
P
P
i
. Niech wi¦c (a
i
) b¦dzie ci¡giem niesko«-
czonym. Mo»emy te» zało»y¢, »e |a
i+1
>|a
i
| oraz |a
1
| 6= 0. W odró»nieniu od przypadku
ci¡gu sko«czonego, suma
P
P
i
mo»e by¢ rozbie»na, b¦dziemy wi¦c jej składniki ’renorma-
lizowa¢’ wielomianami by otrzyma¢ szereg zbie»ny. Funkcja P
i
jest holomorficzna poza a
i
,
wi¦c w kole |z|6
2
|a
i
| ma rozwini¦cie Taylora. Istnieje zatem wielomian W
i
taki, »e
|W
i
(z) −P
i
(z)| <
1
i
2
.
Poka»emy, »e szereg
P
(P
i
−W
i
) jest zbie»ny niemal jednostajnie w C\ (a
i
). Niech K
C\ (a
i
) b¦dzie zbiorem zwartym. Poniewa» |a
i
|−−−!
i!1
sup
2|z|6|a
i
|
1, to istnieje N takie, »e dla i > N
zbiór K jest zawarty w kole |z|6
2
|a
i
|, wi¦c dla i > N
|W
i
(z) −P
i
(z)| <
1
i
2
.
St¡d jednostajna zbie»no±¢ szeregu. Oznaczmy f(z) =
P
sup
z2K
i
(P
i
(z) −W
i
(z)). Z twierdzenia
Weierstrassa o zupełno±ci przestrzeni funkcji holomorficznych f jest funkcj¡ holomorficzn¡
poza ci¡giem (a
i
). Dla ka»dego a
i
funkcja f −
P
k6=i
(P
i
−W
i
) jest holomorficzna w a
i
, wi¦c
cz¦±¢ główna rozwini¦cia Laurenta funkcji f w a
i
jest równa P
i
.
2
Wniosek 2 (Rozkład Mittag-Lefflera). Ka»d¡ funkcj¦ meromorficzn¡ f 2 M(C)
mo»na przedstawi¢ w postaci sumy
X
f = g +
(P
i
−W
i
),
i
gdzie P
i
s¡ cz¦±ciami głównym rozwini¦¢ f, W
i
s¡ wielomianami a g funkcj¡ całkowit¡.
Dowod: Uporz¡dkujmy bieguny f według rosn¡cego modułu i niech P
i
b¦dzie cz¦±ci¡
główn¡ rozwini¦cia w a
i
. Punkt z = 0 mo»emy uzna¢ za regularny, bo je±li f ma biegun w z =
0, to zast¡pimy f funkcj¡ f−P
0
, gdzie P
0
jest cz¦±ci¡ główn¡ rozwini¦cia Laurenta w zerze.
Z dowodu twierdzenia Mittag Leera istniej¡ wielomiany W
i
takie, »e szereg
P
i
(P
i
−W
i
)
jest zbie»ny i »e funkcja g = f −
P
i
(P
i
−W
i
) jest całkowita.
2.4. Przykłady.
Niech f(z) =
1
Przykład 1.
(sin z)
2
. Jest to funkcja meromorficzna z biegunami drugiego
rz¦du w punktach z = n, n 2Z. Cz¦±ci¡ główn¡ rozwini¦cia Laurenta w n jest
1
(z−n)
2
.
Suma cz¦±ci głównych jest zbie»na, wi¦c g(z) =
P
1
(z−n)
2
jest funkcj¡ meromorficzn¡
n2Z
z cz¦±ciami głównym rozwini¦¢ Laurenta takimi samymi jak dla funkcji f. Funkcja f −g
jest zatem całkowita i okresowa o okresie . We¹my z = x + iy, gdzie x 2 [0,]. Dla
n = 1, 2, 3,... mamy
p
|z−n| =
y
2
+ (x−n)
2
>(n− 1)
a dla n = −1,−2,−3,...
|z−n|>|n|.
St¡d
X
X
1
|z−n|
2
1
(n− 1)
2
2
.
|g(z)|6
+ 2
−m
m+1
Pierwszy składnik d¡»y do zera przy y !1,wi¦c
X
1
(n− 1)
2
2
−−−−!
y!1
|g(z)|62
lim
m!1
0
m+1
jako reszta sumy szeregu zbie»nego. Z drugiej strony, |sin
2
z| = sin
2
x + sinh
2
y, wi¦c
1
sin
2
z
−−−−!
y!1
0
oraz f(z) −g(z) −−−−!
y!1
0,
jednostajnie ze wzgl¦du na x 2 [0,]. f −g jest wi¦c funkcj¡ całkowit¡, ograniczon¡, zatem
stał¡ równ¡ zero.
X
1
(sin z)
2
1
(z−n)
2
.
=
(1)
n2Z
N
Przykład 2. Funkcja meromorficzna f(z) = ctg z ma bieguny w punktach z = n z
cz¦±ciami głównymi
1
z−n
. Szereg cz¦±ci głównych jest rozbie»ny, ale mo»na go ’renorma-
lizowa¢’ (oprócz n = 0) wielomianami stopnia zerowego −
1
n
. Funkcja
X
g(z) = ctg z−
1
1
z−n
+
1
n
z
−
n2Z\{0}
3
jest funkcj¡ całkowit¡, a ró»niczkuj¡c wyraz po wyrazie widzimy (Przykład 1), »e jej po-
chodna jest równa zero. Jest to zatem funkcja stała w zerze równa zero,
X
1
z
+
1
z−n
+
1
n
ctg z =
.
(2)
n2Z\{0}
N
2.5. Rozkład na czynniki pierwsze. Drugi problem Cousina. Niech b¦dzie obsza-
rem w C i (a
i
) ci¡giem ró»nych punktów w , bez punktu skupienia w . Niech (p
i
) b¦dzie
ci¡giem liczb naturalnych.
Drugi problem Cousina: czy istnieje funkcja holomorficzna w taka, »e w punktach
a
i
(i tylko tam) ma zera krotno±ci p
i
. Pozytywn¡ odpowied¹ daje twierdzenie Weierstrassa,
ale najpierw troch¦ o iloczynach niesko«czonych.
2.6. Iloczyny niesko«czone.
Iloczyn niesko«czony
Q
n=1
(1 + c
n
) nazywamy zbie»nym, je»eli wszystkie jego czynniki s¡
ró»ne od zera i ci¡g iloczynów cz¦±ciowych P
n
=
Q
k=1
(1 + c
k
) jest zbie»ny do granicy
P 6= 0. Piszemy P =
Q
n=1
(1 + c
n
).
Stwierdzenie 1. Iloczyn
Q
n=1
(1 + c
n
) jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki
dobór gał¦zi logarytmu, »e szereg
P
n=1
log(1 + c
n
) jest zbie»ny.
Dowod: Je»eli szereg
P
n=1
log(1 + c
n
) jest zbie»ny do S, to ci¡g exp(
P
k=1
log(1 + c
k
)) =
Q
k=1
(1 + c
k
) jest zbie»ny do e
S
.
Je»eli iloczyn niesko«czony jest zbie»ny, to P
n
=
Q
k=1
(1 + c
k
) ! P 6= 0 i mo»emy wybra¢
(i wybieramy) gał¡¹ logarytmu tak, by log P
n
był zbie»ny do log P. Kładziemy log(1 +c
1
) =
log P
1
, gał¡¹ log(1 +c
2
) dobieramy tak, by log(1 +c
1
) + log(1 +c
1
) = log P
2
i.t.d. Dostajemy
X
log(1 + c
k
) = log P
n
−−−−!
n!1
log P.
k=1
Ze stwierdzenia wynika, »e warynkiem koniecznym zbie»no±ci iloczynu jest zbie»no±¢ do
zera ci¡gu (c
n
). Je»eli c
n
! 0, to dla du»ych n mamy szacowanie |log(1 + c
n
)62|c
n
|.
Istotnie, niech |w|6
1
2
. Z definicji logarytmu (jeste±my na gał¦zi głównej logarytmu)
Z
1+w
Z
1
1
d = w
1
1 + tw
dt
log(1 + w) =
1
0
i st¡d
Z
1
1
1 −|w|
dt62|w|.
Zatem ze zbie»no±ci szeregu
P
n=1
|c
n
| wynika zbie»no±¢ bezwzgl¦dna szeregu
P
n=1
log(1 +
c
n
).
2.7. Dowód twierdzenia Weierstrassa.
Dowod: Z twierdzenia Mittag-Leera istnieje funkcja meromorficzna h 2M() taka, »e
w a
i
ma biegun pierwszego rz¦du z residuum p
i
. Definiujemy now¡ funkcj¦
|log(1 + w)|6|w|
0
Z
z
H(z) =
h()d,
z
0
gdzie droga całkowania ł¡czy ustalony punkt z
0
z z. Funkcja H jest niejednoznaczn¡ funkcj¡,
holomorficzn¡ poza (a
i
). Poniewa» residua funkcji h w punktach (a
i
) s¡ liczbami natural-
nymi, warto±ci H(z) na ró»nych gał¦ziach ró»ni¡ si¦ o wielokrotno±¢ 2i. Zatem funkcja
f(z) = e
H(z)
jest jednoznaczn¡ funkcj¡ holomorficzn¡ poza (a
i
) i jest tam ró»na od zera.
4
Co si¦ dzieje w punkcie a
i
? Mamy w otoczeniu a
i
,
p
i
z−a
i
+ g
i
(z),
h(z) =
gdzie g
i
jest holomorficzna w otoczeniu a
i
. Całka
Z
z
−a
i
d = p
i
(log(z−a
i
) − log(z
0
−a
i
)) = p
i
log
z−a
i
p
i
z
0
−a
i
,
z
0
wi¦c
f(z) = exp(p
i
log
z−a
i
z
0
−a
i
1
(z
0
−a
i
)
p
i
exp G
i
(z),
) exp G
i
(z) = (z−a
i
)
p
i
gdzie G
i
(z) =
R
z
z
0
g(z). Funkcja
1
(z
0
−a
i
)
p
i
exp G
i
(z) jest ró»na od zera w a
i
i holomorficzna
w otoczeniu a
i
, wi¦c f ma w a
i
zero rz¦du p
i
.
Niech = C. Konstruuj¡c h jak w dowodzie twierdzenia Mittag-Leera mamy
X
p
i
z−a
i
−W
i
(z)
h(z) =
.
(3)
i
Oznaczaj¡c przez R
i
całk¦ z W
i
z warunkiem R
i
(z
0
) = 0, mamy
z−a
i
z
0
−a
i
p
i
Y
e
−R
i
(z)
f(z) =
.
(4)
i=1
Wniosek 3. Ka»da funkcja meromorficzna f 2M(C) jest ilorazem funkcji całkowitych.
Dowod: Niech (b
i
) b¦d¡ biegunami funkcji f a (q
i
) ich rz¦dami. Z twierdzenia Weierstrassa
istnieje funkcja całkowita h z zerami rz¦du q
i
w b
i
. Funkcja g = fh jest funkcj¡ całkowit¡,
zatem f =
g
h
jest ilorazem funkcji całkowitych.
Wniosek 4. Niech b¦dzie obszarem w C. Istnieje funkcja f 2A() nie maj¡ca przedłu-
»enia analitycznego poza .
Dowod: Wybierzmy ci¡g a
i
2 taki, by nie miał on punktów skupienia w , ale »eby
ka»dy punkt z brzegu był jego punktem skupienia. Z twierdzenia Weierstrassa istnieje
funkcja holomorficzna w z zerami w punktach a
i
. Gdyby funkcja f miała przedłu»enie
analityczne f, to pewien punkt b 2 @ byłby w dziedzinie holomorficzno±ci f. Punkt ten
byłby te» punktem skupienia zer f, zatem f byłaby równa to»samo±ciowo zeru.
Je»eli f 2 A() nia ma przedłu»enia holomorficznego poza , to mówimy »e jest
obszarem holomorficzno±ci funkcji f. Ostatni wniosek mo»na wi¦c sformułowa¢ tak: ka»dy
obszar w C jest obszarem holomorficzno±ci pewnej funkcji.
2.8. Przykład. Funkcja f(z) =
sin z
z
jest funkcj¡ całkowit¡ z zerami w a
n
= n, n 2Z\
{0} i ka»de zero ma krotno±¢ jeden. Jak w dowodzie twierdzenia Weierstrassa konstruujemy
funkcj¦ całkowit¡ g(z) z zerami jak w funkcji f. W rozkładzie (4) wybierzmy z
0
= 0, wi¦c
z−a
n
z
0
−a
n
p
n
= 1 −
z
n
. W iloczynie (4) wyst¦puje te» 1 +
z
n
, wi¦c
Y
1 −
z
2
(n)
2
e
−R
n
(z)
g(z) =
.
n=1
5
Plik z chomika:
heroinka94
Inne pliki z tego folderu:
Długosz J - Funkcje zespolone. Teoria, przykłady, zadania. wyd 5.pdf
(10660 KB)
Szabat B - Wstęp do analizy zespolonej.pdf
(51693 KB)
Jarnicki M - Wykłady z Funkcji Analitycznych.pdf
(735 KB)
Ganczar A - Analiza zespolona w zadaniach [bez rozd 9,10].pdf
(102391 KB)
Lenda A - Funkcje zmiennej zespolonej.pdf
(4955 KB)
Inne foldery tego chomika:
_Matematyka. Rozwiązania
_Matematyka. Serie
_VIDEO MatematykaTV
_VIDEO Szukając Einsteina. Matematyka
01 Działania
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin