ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA
POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa:
zdarzenie losowe,
zdarzenie elementarne,
prawdopodobieństwo,
zbiór zdarzeń elementarnych.
Def. Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu eE jedną i tylko jedną liczbę X(e)=x nazywamy zmienną losową.
Rozpatrujemy doświadczenie polegające na rzucie symetryczną monetą. Wynikiem tego doświadczenia mogą być zdarzenia "pojawienie się orła" albo "pojawienie się reszki" tworzące zbiór zdarzeń elementarnych.
Na zbiorze zdarzeń elementarnych określamy zmienną losową X w sposób następujący:
X (orzeł) = 1; X (reszka) = 0
Zmienna losowa X przyjmuje wartość ze zbioru {0,1}. Ponieważ zdarzenia "pojawienie się orła" i "pojawienie się reszki" realizują się z prawdopodobieństwami równymi 1/2, można zapisać:
P(X=1) = P{orzeł} = 1/2,
P(X=0) = P{reszka} = 1/2.
Def. Zmienna losowa X jest typu skokowego, jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości.
Wartości zmiennej losowej skokowej (określane często jako punkty skokowe) będziemy oznaczać przez x1, x2,..., natomiast prawdopodobieństwa, z jakimi są one realizowane (określane jako skoki), oznaczamy przez p1, p2,...
Def. Zmienna losowa X jest typu ciągłego, jeśli jej możliwe wartości tworzą przedział ze zbioru liczb rzeczywistych.
Dla zmiennej losowej typu ciągłego możliwe jest określenie prawdopodobieństwa, że przyjmuje ona wartość należącą do dowolnego zbioru jej wartości. Sposób rozdysponowania całej "masy" prawdopodobieństwa (równej 1) pomiędzy wartości, jakie przyjmuje dana zmienna losowa, określamy mianem jej rozkładu prawdopodobieństwa.
Założenia:
zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartość x1, x2,... z prawdopodobieństwami, odpowiednio p1, p2,... ,
prawdopodobieństwa p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje skończoną liczbę n wielkości,
prawdopodobieństwo p1, p2,... spełniają równość:
gdy zmienna losowa X przyjmuje nieskończoną liczbę wartości.
Def. Zbiór prawdopodobieństw postaci:
spełniających równość (1) lub (2) określamy mianem funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Funkcję prawdopodobieństwa można przestawić tabelarycznie w poniższy sposób (przy założeniu, że zbiór wartości zmiennej losowej jest skończony):
xi
x1
x2
...
xn
pi
p1
p2
pn
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej przedstawia poniższa tabela:
0
1
2
3
1/8
3/8
Wykres funkcji prawdopodobieństwa x
p
3/8 . .
1/8 . .
0 1 2 3 x
Dystrybuanta zmiennej losowej x
F(x)
7/8
4/8
heroinka94