Wislicki W - Zadania ze statystyki matematycznej.pdf - Matematyka. Prawdopodobienstwo i Statystyka - heroinka94

CWICZENIA 1

Zadanie 1 Majac dwie niezalezne zmienne losowe

oraz ich rozkłady, znalezc

rozkład ich sumy, róznicy, loczynu, ilorazu, max

i min

Zadanie 2 Majac rozklad zmiennej

, znalezc rozklady zmiennch

Zadanie 3 Wyrazic pierwsze trzy kumulanty przez zwykle momenty zmiennej losowej.

Zadanie 4 Obliczyc skosnosc i kurtoze dla rozkładów: płaskiego, Poissona, dwu-

mianowego i geometrycznego.

CWICZENIA 2

Zadanie 1 Zgodnie z kryterium dostatecznosci Neymana dla statystyk, aby dla wek-

torowej zmiennej losowej obserwacji

i wektorowej zmiennej losowej parametrów

, wektorowa statystyka

była dostateczna dla

, potrzeba i wystarcza, aby

istniała nastepujaca faktoryzacja gestosci

1. Niech

bedzie

-wymiarowym wektorem zmiennych iid, kazda o rozkładzie

eksponencjalnym

Pokazac, ze

jest statystyka dostateczna dla

2. Niech

bedzie

-wymiarowym wektorem zmiennych iid, kazda o rozkładzie

płaskim

Znalezc statystyke dostateczna dla

, posługujac sie kryterium Neymana.

Zadanie 2 Rodzina rozkładów z funkcja gestosci

nalezy do ekponencjalnej

rodziny rozkładów, jesli istnieja takie funkcje B

, C

(ostatnie dwie na ogół wek-

torowe, lecz nie koniecznie tego samego wymiaru co

), ze

Rozstrzygnac, czy funkcja rozkładu

(rozkład beta)

nalezy do rodziny eksponencjalnej i znalezc statystyke dostateczna dla

Zadanie 3 Mówimy, ze statystyka

jest niezmiennicza wzgledem grupy przeksz-

tałcen

, jesli dla kazdego

zachodzi

Pokazac, ze dla transformacji skalowania

(

) i wektorowej

zmiennej losowej

o wymiarze

, statystyka

gdzie

jest wariancja z próby zas

jest srednia z próby,

jest niezmiennicza wzgledem skalowania.

CWICZENIA 3

Zadanie 1 Niech

– próba losowa z rozkładu równomiernego

a) Sprawdzic, czy rodzina tych rozkładów jest niezmiennicza anicznie, tzn. wzgledem

transformacji

b) Znalezc statystyke dostateczna dla

c) Pokazac, ze

min

jest estymatorem najwiekszej warygod-

nosci dla

d) Znalezc estymator nieobciazony o najmniejszej wariancji dla

Zadanie 2 Niech

– próba losowa z rozkładu o gestosci

a) Pokazac, ze

jest estymatorem nieobciazonym dla

b) Znalezc estymetor najwiekszej wiarygodnosci dla

, o ile taki istnieje,

c) Znalezc estymetor nieobciazony o minimalnej wariancji dla

, jesli istnieje.

Zadanie 3 Niech

– próba losowa z rozkładu o gestosci

Pokazac niezmiennczosc aniczna tego rozkładu oraz znalesc transformacje parametrów

indukowana przez transformacje zmiennej losowej.

Zadanie 4 Niech

– próba losowa z rozkładu wykładniczego

Znalezc estymatory najwiekszej wiarygodnosci oraz estymatory nieobciazone o na-

jmniejszej wariancji dla wartosci oczekiwanej i wariancji

CWICZENIA 4

Zadanie 1

Rozwazmy rozkład jednorodny w przedziale

i próbe losowa z tego rozkładu o

licznosci

Niech

max

Nalezy:

a. Pokazac, ze

jest MVUE dla

b. Wyznaczyc minimalna wariancje tego estymatora,

c. Pokazac, ze ’ (

jest MLE dla

Zadanie 2

Niech

bedzie dyskretna zmienna losowa *)

. Oznaczmy ./ 0 21

, gdzie

jest nieznanym parametrem. Niech

bedzie próba losowa o

licznosci

z tego rozkładu, zas 8

niech bedzie statystyka dostateczna dla

Jako estymator 394

przyjmiemy

l. obserwacji ; 01

Nalezy

a. Pokazac, ze <=

jest MVUE dla 394

b. Korzystajac z a. znalezc MVUE dla ./ ? ;

w rozkładzie Poissona

c. Znalezc MVUE dla .@ ;

w rozkładzie ujemnym dwumianowym

, gdzie PO

znane i :

jest parametrem.

Zadanie 3 Istnieja bliznieta o jednakowej płci lub o róznych płciach.

Niech

bedzie prawdopodobienstwem, ze dziecko jest chłopcem, a

– prawdopodobienst-

wem ze bliznieta sa jednopłciowe.

Pokazac, ze prawdopodobienstwa konguracji chłopiec+chłopiec, chłopiec+dziewczynka

i dziewczynka+dziewczynka sa równe 3

, gdzie

Przypuscmy, ze mamy

par blizniat, z czego X FY

poszczególnych konguracji.

Nalezy nastepnie:

a. Podac MLE dla

i 3

b. Znalezc wariancje tych estymatorów,

Zadanie 4 Rozwazmy rozkład potegowy

Niech s

– próba losowa z tego rozkładu i niech y

Pokazac, ze

jest statystyka dostateczna dla

, i ze rozkład statystyki y

jest tez potegowy

b. MVUE dla

ma postac

Wislicki W - Zadania ze statystyki matematycznej.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: