Zestaw 6 - Pochodna funkcji jednej zmiennej.pdf

(82 KB) Pobierz
672887211 UNPDF
Zestaw nr 6
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej.
Elastycznosc funkcji. Regula de l’Hospitala
November12,2009
Przykladowe zadania z rozwiazaniami
Zadanie1. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
a)f(x) =x 4 + 3x 3 + 2x 2 +x
Rozwi¸azanie: Korzystajac z wzoru na pochodna sumy otrzymujemy
(x 4 + 3x 3 + 2x 2 +x) 0 = (x 4 ) 0 + (3x 3 ) 0 + (2x 2 ) 0 + (x) 0 = 4x 3 + 3·3x 2 + 2·2x+ 1 = 4x 3 + 9x 2 + 4x+ 1.
b)f(x) =x 1/2 + 1/x
Rozwi¸azanie: Korzystaja c z wzoru na pochodna sumy otrzymujemy ( p x+ 1/x) 0 = ( p x) 0 +
(1/x) 0 = 1
2· p x − 1 x 2 gdyz ( p x) 0 = 1
2· p x oraz (1/x) 0 =− 1 x 2 .
c)f(x) = 3x·logx.Przypominamy, zelogxoznacza logarytm naturalny z liczby x.
Rozwi¸azanie: Korzystajac z wzoru na pochodna iloczynu funkcji otrzymujemy (3x·logx) 0 =
(3x)·(logx) 0 + (3x) 0 ·logx= 3x· 1 x + 3logx,gdyz (logx) 0 = 1/xoraz (3x) 0 = 3.
d)f(x) = 3x·e x
Rozwi¸azanie: Korzystajac z wzoru na pochodna iloczynu funkcji otrzymujemy (3x·e x ) 0 = 3x·
(e x ) 0 + (3x) 0 ·e x = 3xe x + 3·e x ,poniewaz (e x ) 0 =e x .
e)f(x) = 3
x−3
Rozwi¸azanie: Korzystajac z wzoru na pochodna ilorazu funkcji otrzymujemy
( 3
(x−3) 2 = −3
(x−3) 2
f)f(x) = x 2 −1
2x 2 +1
Rozwi¸azanie: Korzystajac z wzoru na pochodna ilorazu funkcji otrzymujemy ( x 2 −1
2x 2 +1 ) 0 =
=
(x 2 −1) 0 ·(2x 2 + 1)−(x 2 −1)(2x 2 + 1) 0
(2x 2 + 1) 2
=
2x(2x 2 + 1)−4x(x 2 −1)
(2x 2 + 1) 2
=
6x
(2x 2 + 1) 2
1
x−3 ) 0 = (3) 0 ·(x−3)−3·(x−3) 0
672887211.004.png 672887211.005.png 672887211.006.png 672887211.007.png
g)f(x) = (x 2 + 1) 1/2
Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodna funkcji zlozonej (g(h(x))) 0 =g 0 (h(x))·h 0 (x).
Niechg(x) = p xorazh(x) =x 2 + 1 Wiadomo, ze ( p x) 0 = 1
2 p x oraz (x 2 + 1) 0 = 2x.Wowczas
f(x) =g(h(x)) oraz (g(h(x))) 0 = 1
2 p x 2 +1 ·2x.
h)f(x) = ln(3x 2 +x−4)
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodna funkcji zlozonej (g(h(x))) 0 =g 0 (h(x))·h 0 (x)
Niechg(x) = logxorazh(x) = 3x 2 +x−4 Wiadomo, ze (logx) 0 = 1 x oraz (3x 2 +x−4) 0 = 6x+ 1.
Wowczasf(x) =g(h(x)) oraz (g(h(x))) 0 = 1
3x 2 +x−4 ·(6x+ 1).
i)f(x) =log 3 (x 2 +x+ 1)
Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodna funkcji zlozonej (g(h(x))) 0 =g 0 (h(x))·h 0 (x)
Niechg(x) = log 3 xorazh(x) =x 2 +x+ 1 Wiadomo, ze (ln 3 x) 0 = 1
x·log3 oraz (x 2 +x+ 1) 0 = 2x+ 1.
Wowczasf(x) =g(h(x)) oraz (g(h(x))) 0 = 1
(x 2 +x+1)·log3 ·(2x+ 1).
j)f(x) = (2/3) 1−3x 2
Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodna funkcji zlozonej (g(h(x))) 0 =g 0 (h(x))·h 0 (x)
Niechg(x) = (2/3) x orazh(x) = 1−3x 2 Wiadomo, ze ((2/3) x ) 0 = (2/3) x ·log(2/3) oraz (1−3x 2 ) 0 =
−6x.Wowczasf(x) =g(h(x)) oraz (g(h(x))) 0 = (2/3) 1−3x 2 ·(−6x)·log(2/3).
k)f(x) = (3x 4 +x 3 +x) 5
Rozwi¸azanie: Korzystamy z wzoru na pochodna funkcji zlozonej (g(h(x))) 0 =g 0 (h(x))·h 0 (x)
Niechg(x) =x 5 orazh(x) = 3x 4 +x 3 +xWiadomo, ze (x 5 ) 0 = 5x 4 oraz (3x 4 +x 3 +x) 0 =
12x 3 + 3x 2 + 1.Wowczasf(x) =g(h(x)) oraz (g(h(x))) 0 = 5(3x 4 +x 3 +x) 4 ·(12x 3 + 3x 2 + 1).
Zadanie2. Napisz rownanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 ,f(x 0 )) jeslif(x) =
x 2 −3x+ 2 orazx 0 = 2
Rozwiazanie:Rownanie prostej l ma postac
y=ax+b
Jesli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 ,f(x 0 )) to z geometrycznej interpre-
tacji pochodnej otrzymujemy, zea=f 0 (x 0 ).Styczna oraz wykres funkcji f maja wspolny punkt
(x 0 ,f(x 0 )) co daje
f(x 0 ) =a·x 0 +b
czyli
b=f(x 0 )−a·x 0 .
Podstawiajac wartosci liczbowe otrzymujemy:f 0 (x) = 2x−3 czylif 0 (2) = 1 orazb=f(2)−1·2 =
−2.Rownanie stycznej ma postac
y=x−2.
2
672887211.001.png
Zadanie3. Jaki kat z osia Ox tworzy styczna do parabolif(x) =x 2 −3x+ 8 w punkcie (2, 6) ?
Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, ze tangens katamiedzy
styczna a osia Ox wynosif 0 (2) czylif 0 (x) = 2x−3 orazf 0 (2) = 1 co daje= 45 0 .
Zadanie4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcjif(x) =x 3 −3x 2 −9x+ 2 jest rownolegla
do osi Ox?
Rozwiazanie:Styczna do wykresu funkcjifw punkcie (x 0 ,f(x 0 )) jest rownolegla do osi Ox gdy
f 0 (x 0 ) = 0.Zatemf 0 (x 0 ) = 3x 2 0 −6x 0 −9 = 0.Rozwiazujac to rownanie kwadratowe otrzymujemy
odpowiednio = 144 oraz pierwiastkix 1 = 3 lubx 2 =−1.W punktach (3,f(3)) oraz (−1,f(−1))
styczne sa rownolegle do osi Ox.
Zadanie5. Wyznaczyc elastycznosc funkcjif(x) =x 2 + 5x+ 3 dlax 0 = 3.
Rozwiazanie:Z definicji elastycznoscE x ffunkcji f w punkcie x dana jest wzoremE x f= f 0 (x)
f(x) ·x.
Zatemf 0 (x) = 2x+ 5,f 0 (3) = 11 orazf(3) = 27,co dajeE 3 f= 11 27 ·3 = 11/9.
Zadanie6. Korzystajac z reguly de l’Hospitala oblicz granice:
a) lim x!1 x 3 −1
x
Rozwiazanie:a) Funkcjef(x) =x 3 −1 orazg(x) =x 2 −1 sa okreslone na R oraz rozniczkowalne
w dowolnym punkciex2 R ,zatem z reguly de l’Hospitala otrzymujemy:
lim
x!1
x 3 −1
x 2 −1
= lim
x!1
(x 3 −1) 0
(x 2 −1) 0 = lim
x!1
3x 2
2x = 3/2.
b) Funkcjef(x) =e x −1 orazg(x) =xspelniaja zalozenia tw. de l’Hospitala, mamy wiec:
lim
x!0
e x −1
x = lim
x!0
(e x −1) 0
(x) 0 = lim
x!0
e x
1
= 1.
1 Dodatkowe zadania z odpowiedziami
Zadanie1.1. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
a)f(x) =x 4 + 6x 3 + 8x 2 +x
Odp.f 0 (x) = 4x 3 + 18x 2 + 16x+ 1
b)f(x) =x 1/3
Odp.f 0 (x) = 3
3·(x) 2 / 3
c)f(x) = 3x·log(x−1)
Odp.f 0 (x) = 3x
3
x 2 −1
b) lim x!0 e x −1
x−1 + 3 log(x−1)
 
d)f(x) = 3(x+ 2)·e x−2
Odp.f 0 (x) = 3(x+ 2)·e x−2 + 3·e x−2
e)f(x) = x+3
x−3
Odp.f 0 (x) = −6
(x−3) 2
x 2 +2
Odp.f 0 (x) = 10x
(x 2 +2) 2
g)f(x) = (x 2 +x+ 1) 1/2
Odp.f 0 (x) = 2x+1
2 p x 2 +x+1
h)f(x) = log(3x 2 + 8)
Odp.f 0 (x) = 6x
3x 2 +8
i)f(x) =log 3 (x 2 + 4x+ 7)
Odp.f 0 (x) = 2x+4
(x 2 +4x+7)log3
j)f(x) = 3 x 4
Odp.f 0 (x) = 4x 3 ·3 x 4 ·log3
k)f(x) = 5 x 3 −7x+2
Odp.f 0 (x) = 5 x 3 −7x+2 ·(3x 2 −7)·log5
l)f(x) = (2x 2 + 2x)(3x 4 +x)
Odp.f 0 (x) = (2x 2 + 2x)(12x 3 + 1) + (4x+ 2)(3x 4 +x)
m)f(x) = (3x 3 +x 2 +x) 5
Odp.f 0 (x) = 5(3x 3 +x 2 +x) 4 ·(9x 2 + 2x+ 1)
Zadanie2. Napisz rownanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x 0 ,f(x 0 )) jesli
a)f(x) =x 2 −x+ 2 orazx 0 = 2
b)f(x) =x 3 −x 2 + 2 orazx 0 = 1
Odpowied´z:a)y= 3x−2 b) y=x+1
Zadanie3. Jaki kat z osia Ox tworzy styczna do parabolif(x) =x 2 −3x+ 8 w punkciex= 1.5 ?
Odpowied´z:Kat 0 0
Zadanie4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcjif(x) =x 3 −9x+ 2 jest rownolegla do
osi Ox?
Odpowied´z:Dlax 0 =
p
3 lubx 0 =− p
4
f)f(x) = x 2 −3
3.
Zadanie5. Wyznaczyc elastycznosc funkcji
672887211.002.png 672887211.003.png
a)f(x) =x 2 + 5x+ 3 dlax 0 = 3.
b)f(x) =e x + 1 dlax 0 = 2
Odpowied´z:a) 27/17 b) 2e 2
e 2 +1
Zadanie6. Korzystajac z reguly de l’Hospitala oblicz granice:
a) lim x!1 x 9 −1
x
c) lim x!1 log(x+1)
x
d) lim x!0 e x −x−1
x 2
e) lim x!1 5 x −1
x 2
Odpowied´z:a) 9/2,b)1,c) 0, d) 1/2,e)1.
5
x 2 −1
b) lim x!1 e x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin