Zakres Analiza Matematyczna 1.pdf

WojciechMa¢kowiak

2lipca2004roku

ZagadnieniazanalizyI

I Kresyniepustychpodzbiorówprostejrzeczywistej.

II Granicaci¡gu.

1.Ci¡gizbie»ne.Ograniczono±¢ci¡gówzbie»nych.Twierdzenieooperacjachalgebraicznychnagranicyci¡gu.

WarunekCauchy’ego.

2.Podci¡gici¡gu,TwierdzenieBolzano-Weierstrassa.

3.Twierdzenieogranicyci¡gumonotonicznego.Liczbae.

4.Ci¡girozbie»nedoniesko«czono±ci.

5.Zbiórpunktówskupieniaci¡gu,granicegórnaidolna,zwi¡zekzistnieniemgranicyci¡gu.

III Szeregiliczbowe.

1.Zbie»no±¢szereguliczbowego.Zbie»no±¢bezwzgl¦dnaiwarunkowa.WarunekCauchy’egozbie»no±cisze-

regu.Szeregharmonicznyianharmoniczny.

2.Kryteriazbie»no±ci:porównawcze,Cauchy’ego,d’Alamberta.

3.Twierdzenieozag¦szczaniu.

4.Szereginaprzemienne.TwierdzeniaLeibnizaiAbela.

5.TwierdzenieCauchy’egooiloczynieszeregów.

6.Przemienno±¢szeregówbezwzgl¦dniezbie»nych.TwierdzenieRiemanna.

7.Szeregipot¦gowe.Promie«iprzedziałzbie»no±ciszeregupot¦gowego.

IV Granicafunkcjiwpunkcie.

1.WarunekHeinegoato,bygranicafunkcjifwpunkciexbyłarównay.WarunkiCauchy’ego(wewszystkich

układachxiy).

2.Granicalewostronnaiprawostronna,zwi¡zekzistnieniemgranicy.

3.Zbiórliczbgranicznych,granicadolnaigórnafunkcjiwpunkcie,zwi¡zekzistnieniemgranicyfunkcjiw

punkcie.

4.Twierdzeniaogranicy:sumy,iloczynuiilorazufunkcji.

V Ci¡gło±¢funkcji.

1.WarunkiHeinegoiCauchy’egoci¡gło±cifunkcjiwpunkcie.

2.Ci¡gło±¢aistnieniegranicyfunkcjiwpunkcie.

3.Twierdzenieoci¡gło±cizło»eniafunkcji,ci¡gło±cisumy,iloczynuiilorazufunkcji.

4.Funkcjeci¡głe.Własno±cifunkcjici¡głychokre±lonychnaprzedziale [ a,b ] :twierdzenieWeierstrassa(o

osi¡ganiukresów),własno±¢Darboux,ci¡gło±¢funkcjiodwrotnej,ci¡gło±¢jednostajna.

VI Ci¡giiszeregifunkcyjne.

1.Zbie»no±¢punktowaazbie»no±¢jednostajnaci¡gufunkcyjnego.

2.Twierdzenieoci¡gło±cigranicyjednostajniezbie»negoci¡gufunkcjici¡głych.

3.WarunekCauchy’egozbie»no±cijednostajnejci¡gufunkcyjnego.

4.Szeregifunkcyjne.KryteriumWeierstrassazbie»no±cijednostajnejszeregufunkcyjnego.

5.Ci¡gło±¢szumyszeregufunkcyjnegonaprzedzialezbie»no±ci.