Wyklad - dylemat wi¦Ö+¦nia.pdf - TeoriaGier - cathal30

Teoria Decyzji

Wykład 11

Dwuosobowe gry kooperacyjne - Dylemat eksploatacji zasobów.

Dylemat wiĘŹnia.

Na poprzednim wykładzie omawialiśmy własności gier nieściśle konkurencyjnych na

przykładzie walki płci. Innym przykładem gry o sumie niezerowej jest gra znana pod nazwą

dylematu więźnia . Państwo zapoznali się z nią na wykładach ubiegłorocznych. Macierz

wypłat tej gry moŜe wyglądać następująco:

( ) ( )

RóŜnorodne problemy rzeczywiste prowadzą do takiej macierzy wypłat. Opis jednego

z nich (tłumaczący nazwę) moŜe być następujący. Dwu podejrzanych – złapanych w

samochodzie, którym uciekli z banku rabusie - zostaje zamkniętych w areszcie i

odseparowanych. Prokurator jest pewny, Ŝe są oni winni napadu, a nie ma dostatecznych

dowodów dla sądowego uznania ich winnymi – twierdzą, Ŝe samochód stał opodal i się nim

zainteresowali bo był otwarty. Prokurator w tę bajeczkę nie wierzy -

ale moŜe im udowodnić tylko kradzieŜ samochodu. Tłumaczy

kaŜdemu więźniowi, Ŝe mają dwie alternatywy: przyznać się do

przestępstwa, co do którego jest przekonany, Ŝe je popełnili, albo nie

przyznać się. JeŜeli obydwaj się nie przyznają dostaną relatywnie

niską karę - za kradzieŜ. JeŜeli obydwaj się przyznają, to zostaną

skazani sądownie, ale wyrok będzie złagodzony – sąd uwzględni ich

współpracę z policją. JeŜeli jednak jeden z nich się przyzna, a drugi

nie, to ten który się przyzna będzie traktowany łagodnie, bo inaczej będzie się tłumaczyło

materiał dowodowy, podczas gdy drugi będzie miał spraw przegraną w zupełności.

WyraŜając to w latach więzienia, problem strategiczny moŜna przedstawić tabelką:

Więzień 2

Nie przyznać się

Przyznać się

Nie przyznać się

więzień 1: 2 lata

więzień 1: 10 lat

Więzień 1

więzień 2: 2 lata

więzień 2: 3 miesiące

Przyznać się więzień 1: 3 miesiące

więzień 1: 8 lat

więzień 2: 10 lat

więzień 1: 8 lat

JeŜeli przez a 1 i b 1 będziemy rozumieli strategie „nie przyznać się”, a przez a 2 i b 2

„przyznać się”, to pod warunkiem, Ŝe Ŝaden z podejrzanych nie ma skrupułów moralnych ani

nie obawia się zdrady, wyŜej podana macierz wypłat uŜyteczności dobrze oddaje dylemat

więźnia. Zagadnienie dla kaŜdego więźnia polega na tym, czy się przyznać, czy nie. Prowadzi

to do wcześniej podanej macierzy wypłat. Oczywiście, gdyby oprócz kary więzienia takŜe

„wypłaty uboczne” typu kara za brak lojalności ze strony pozostałych członków grupy

przestępczej miały zostać uwzględnione, to problem byłby inny , najbardziej interesujący jest

jednak w omawianej postaci. Wszak nie chodzi nam o model zachowań aresztantów, ale o

pewne waŜne i ciekawe implikacje sytuacji opisanej przez nasza grę.

Rozpatrzmy najpierw grę z punktu widzenia gracza I. NiezaleŜnie od tego czy gracz II

wybierze b 1 czy b 2 , dla gracza I bardziej uŜyteczna jest strategia a 2 , poniewaŜ 10 jest większe

niŜ 9 w przypadku pierwszym, a 1 jest większe od 0 w przypadku drugim. Wobec tego a 2

dominuje ściśle a 1 . Podobnie b 2 dominuje dokładnie b 1 . poniewaŜ kaŜdy gracz chce

maksymalizować uŜyteczność, dlatego a 2 i b 2 są ich wyborami rozsądnymi.

Jest trochę niewygodne dla naszej intuicji, Ŝe dwaj gracze „nierozsądni’ będą w

lepszej sytuacji niŜ gracze „rozsądni”. Widzimy, Ŝe gdyby obaj zagrali swoje pierwsze

strategie to dostaliby wypłatę po 9 zamiast po 1. Zastanówmy się jednak czy przy takim

modelu i takich wypłatach jest moŜliwa kooperacja w celu uzyskania wypłat po 9. Ktoś powie

nic prostszego. ZałóŜmy, Ŝe gracze gry G mogą współpracować. naturalnie porozumieliby się

co do trzymania się ( a 1 , b 1 ), poniewaŜ jedyną alternatywą jest ( a 2 , b 2 ), której Ŝaden z nich nie

chce. Na przykład spotykają się na korytarzu – wyobraźmy sobie - i umawiają, Ŝe do końca,

bez względu na wszystko, będą zaprzeczać, Ŝe brali udział w napadzie. Wyobraźmy sobie

zatem co dalej. Idą do swoich cel i myślą: tak, ja będę zaprzeczał, a on? Czy moŜna mu ufać?

Ha, nie wiadomo, zatem lepiej zrobię przyznając się! Nie dam się zrobić. Hm, jeśli on

dotrzyma umowy, to trudno - sam sobie frajer winien.

Po prostu strategia ( a 1 , b 1 ) nie jest w równowadze, a to znaczy, Ŝe kaŜdy z graczy

moŜe mieć słuszne powody do zerwania umowy. Powody są następujące: jeŜeli któryś z

graczy zerwie umowę, a przeciwnik nie, to traci gracz I więcej niŜ wtedy, gdyby obydwaj nie

dotrzymali umowy.

I tak dochodzimy do strategii wcześniej wybranej – po prostu pozostanie prawdą, Ŝe

gracz rozsądny wychodzi zawsze lepiej niŜ gracz nierozsądny. Jako dalsze uzasadnienie tych

wyborów strategii moŜna powiedzieć, Ŝe ( a 2 , b 2 ) jest w tej grze jedyną parą strategii w

równowadze oraz, Ŝe a 2 i b 2 są równieŜ jedynymi strategiami maksymiowymi odpowiednio

dla graczy I i II. WaŜnym faktem jest to, Ŝe a 2 ściśle dominuje nad a 1 , a b 2 nad b 1 .

Na zakończenie tej bajeczki moŜna jeszcze raz powrócić do kontekstu kryminalnego,

w którym takie „oszustwo” moŜe spowodować powaŜne represje i wobec tego moŜna by

argumentować, Ŝe gra nie jest warta świeczki. To jednak zaprzecza interpretacji

uŜyteczności, jaką daliśmy liczbom. JeŜeli zignorowaliśmy tego rodzaju rozwaŜania, to

znaczy, Ŝe w tym przypadku te konsekwencje nie odgrywaja roli. Gdyby było inaczej to

uczynilibyśmy lepiej, gdybyśmy zawarli fakt łamania wiąŜącego układu jako integralną część

gry rozszerzonej, która miałaby na celu odzwierciedlić ten konflikt interesów. Oczywiście

wtedy nie byłaby to gra zwana dylematem więźnia!

Na temat tego problemu napisano wiele artykułów – wynika to z tego, Ŝe opisuje on

wiele sytuacji z rzeczywistości społeczno – gospodarczej. W takim kontekście problemy te

nazywamy dylematem eksploatacji wspólnych zasobów. Oto kolejny przykład.

Dylemat eksploatacji zasobów

RozwaŜmy sytuację związaną z rynkiem pewnego dobra. Aby nawiązać do klimatu

przykładu poprzedniego wyobraźmy sobie, Ŝe chodzi o produkcję i sprzedaŜ whisky w

okresie prohibicji. W pewnym mieście – nazwijmy je Buffalo - cały rynek tego produktu

zaspakajany jest przez czterech otrębnych producentów prowadzących tzw. interes rodzinny .

Wiadomo, Ŝe cena produktu dla takiego rynku na którym funkcjonuje oligopol moŜe

być wyraŜona w postaci:

cena = A - k ( łączna podaŜ )

gdzie stała A reprezentuje hipotetyczną cenę dobra w sytuacji całkowitego braku dostępu do

niego (nie ma whisky, a gdyby się pojawiła to ile byś dał, Ŝeby ją kupić?), k to pewien

współczynnik mówiący jak szybko spada cena w związku ze wzrostem dostępności do dobra

(na skutek zwiększania podaŜy)

Niech x i - podaŜ i- tego producenta, wtedy

Przychód = wielkość produkcji . cena =x i cena = x i [ A - k ( łączna podaŜ )]

oznacza przychód (utarg) i- tego producenta. Zakładamy, Ŝe w warunkach ograniczonej

dostępności do dobra całość wyprodukowanego dobra znajdzie nabywców. Pomijając koszty

– jedynie dla uproszczenia rachunków, istota problemu się nie zmienia - moŜemy uznać utarg

producenta za proporcjonalny do jego zysku.

Wielkość produkcji moŜna wyrazić w rozmaitych jednostkach – my dla uproszczenia

zapisu utoŜsamiamy wielkość podaŜy dobra pochodzącą od danego producenta z liczbą

uruchomianych przez niego linii produkcyjnych. Dalej, dla konkretyzacji przykładu

przyjmiemy konkretne wielkości poszczególnych stałych. Niech na przykład:

cena = 30 - 2 ( łączna podaŜ )

Przyjmijmy, Ŝe kaŜdy z czterech producentów moŜe uruchomić co najwyŜej 3 linie o

zbliŜonej wydajności. Prowadzi to do gry symetrycznej - takiej samej dla kaŜdego z graczy-

producentów. KaŜdy z ich ma podjąć decyzję o wielkości produkcji, czyli ile linii

produkcyjnych uruchomić. Ma zatem cztery strategie : 0,1,2,3. Ich wypłaty są proporcjonalne

do zysków (czyli do utargu). Zgodnie z przyjętym modelem rynku wielkość tej wypłaty

zaleŜy od tego ile uruchomi producent linii ale teŜ od tego ile linii łącznie uruchomią

pozostali. Zatem w funkcji wypłaty i-tego gracza nie musimy odrębnie traktować graczy

pozostałych. Zatem kaŜdy z graczy ma przed sobą następującą macierz gry:

Łączna liczba linii uruchomionych przez pozostałych producentów

strategie

i -tego

producenta

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10

52 48 44 40 36 32 28 24 20 16

72 66 60 54 48 42 36 30 24 18

ZauwaŜmy, Ŝe strategia uruchom 3 linie produkcyjne dominuje wszystkie pozostałe –

niezaleŜnie od tego co zrobią pozostali gracze, gracz i -ty ma najwięcej uruchamiając

maksymalizując produkcję. Ale to znaczy, Ŝe kaŜdy gracz powinien - we własnym interesie –

maksymalizować produkcję. Oznacza to, Ŝe kaŜdy uruchomi po 3 linie, czyli kaŜdy otrzyma

wypłatę 18 odpowiadającą sytuacji gdy producent uruchamia 3 linie a pozostali łącznie 9

(kaŜdy po 3). No i tu pojawia się problem, bo widzimy, Ŝe gdyby kaŜdy uruchomił po dwie

linie ( czyli i -ty 2 pozostali łącznie 6) to otrzymane przez nich wypłaty wynosiłyby 28 (!)

I znowu – podobnie jak w dylemacie więźnia – moŜna zastanowić się nad tym, czy nie

mogliby kooperować. No tak, tylko, Ŝe o ile kooperacja nie będzie wymuszona – tzn. o ile nie

zmieni się macierz wypłat - zawsze będzie się opłacało nie dotrzymać umowy!

Takich sytuacji jest w Ŝyciu społecznym i gospodarczym wiele. Związane są one ze

wspólnym uŜytkowaniem ograniczonych zasobów . W naszym przykładzie tym zasobem był

rynek o ograniczonej zdolności wchłonięcia produkowanego dobra. Ale tym zasobem mogą

być np. ulice miast, woda w kranach, gaz w sieci energetycznej itp. Wyobraźmy sobie np.

miasto w którym jest za duŜy ruch samochodowy i przejazd przez kilka skrzyŜowań zajmuje

godziny. Burmistrz ogłasza apel o pozostawienie samochodów w domu i obiecuje uruchomić

bardzo tani transport komunalny. Ludzie myślą sobie: bardzo dobry pomysł – będą puste

ulice, autobusy zatem będą szybko jeździły i wszystko się usprawni . Przychodzi ranek dnia w

którym samochody – stosownie do apelu – miały zostać w domu. I co myśli sobie Michał.

Ano myśli sobie – albo pojadę swoim samochodem albo zastosuję się do apelu burmistrza i

pojadę szybko autobusem. Hm, ale jeszcze szybciej swoim samochodem-wszak ulice są puste!

A jeśli inni tez pojadą samochodami i ulice nie będą puste? Ha, to tym bardziej bym wyszedł

na naiwniaka, gdybym poszedł na autobus, który jak zwykle nie dojedzie bo będą korki. No i

Michał jedzie swoim samochodem do miasta, a tam same korki!

Problem ten bywa określany jako konflikt między indywidualną racjonalnością a

interesem zbiorowym . Problem nie ma rozwiązania. Jedyne co moŜna zrobić by sytuację

rzeczywistą rozwiązać to zmienić warunki (reguły gry). Jedną z metod jest wprowadzenie

dodatkowych opłat za wykorzystanie zasobu tak, by zmienić strukturę wypłat na tyle, aby

nadmierne wykorzystanie zasobu przestało być indywidualnie opłacalne. W naszym

przykładowym mieście burmistrz zamiast ogłaszania apelu, mógłby ogłosić wprowadzenie

opłat za korzystanie z samochodów w określonych godzinach. Z kolei producenci whisky

mogliby się umówić, Ŝe uruchamiają tylko i pod rygorem kar zwyczajowych (znamy je z

filmów z epoki) realizować umowę. Oczywiście musieliby jeszcze wprowadzić mechanizm

kontrolny (inspekcja). Jednym z takich mechanizmów przyjętych w społeczeństwach są

podatki. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu, na przykładzie naszych producentów.

Rola podatków w problemach eksploatacji zasobów

Wyobraźmy sobie, Ŝe w Buffalo wprowadzono podatek za uruchomienie trzeciej linii

w wysokości 20. Otrzymujemy wtedy grę:

Wyklad - dylemat wi¦Ö+¦nia.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: