Większość z nas mając za zadanie narysowanie wykresu jakiejś funkcji przy wyznaczaniu współrzędnych punktów należących do tego wykresu, wykorzystuje tabelkę. W przypadku funkcji liniowej, wystarczy znaleźć współrzędne dwóch punktów tego wykresu i poprowadzić przez nie linię prostą.
Narysuj wykres funkcji y = 3x – 2.
Wybieramy dwie dowolne wartości argumentu x, np. x = 2 i x = -1, i dla nich wyznaczamy wartości funkcji danej w przykładzie.
Dla x = 2 otrzymujemy y = 3×2 – 2. Zatem dla x =2 y = 4.
Dla x = -1 otrzymujemy y = 3×(-1) – 2. Zatem dla x = -1 y = -5.
Otrzymane punkty (2,4), (-1,-5) zaznaczamy w układzie współrzędnych i rysujemy prostą przechodzącą przez te punkty.
Ćwiczenie 1
Rozwiąż zadanie 1 str.203 z podręcznika.
(ćwiczenie C str. 200)
Podaj wzór takiej funkcji liniowej, która spełnia następujące warunki:
a) funkcja jest rosnąca, a jej wykres przecina oś y w punkcie (0,-3),
b) funkcja jest malejąca i jej wykres przecina oś y w punkcie (0,),
c) funkcja jest stała i do jej wykresu należy punkt (10,-20).
a) Szukamy funkcji y = ax + b.
Jeżeli funkcja jest rosnąca, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą dodatnią (a>0). Ponieważ wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,-3), więc współczynnik b = -3 i współrzędne tego punktu spełniają równanie szukanej prostej. Stąd otrzymujemy
-3 = a×0 + (-3)
Z powyższego równania wynika, że współczynnik a może być każdą liczba rzeczywistą dodatnią , np. dla a=2 równanie przyjmuje postać y = 2x –3.
b) Jeżeli funkcja jest malejąca, to jej współczynnik kierunkowy jest liczbą ujemną (a<0). Ponieważ wykres funkcji przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,),więc współczynnik b = i współrzędne tego punktu spełniają równanie szukanej prostej. Stąd otrzymujemy
= a×0 + ()
Z powyższego równania wynika, że współczynnik a może być każdą liczba rzeczywistą ujemną , np. dla a= -2 równanie przyjmuje postać y = -2x .
b) Jeżeli funkcja jest stała, to znaczy, że dla każdej wartości argumentu x wartość funkcji jest taka sama, a jej współczynnik kierunkowy jest równy zero. Ponieważ funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych (10,-20), więc szukana funkcja ma wzór y = -20.
Ćwiczenie 2
Rozwiąż zadanie 2,3 str.203 z podręcznika.
Przykład 3
Dana jest funkcja y = 7x + .
a) dla jakich wartości argumentu funkcja ta przyjmuje wartość 3 ?
b) dla jakich argumentów wartości tej funkcji są większe od -2?
c) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych.
d) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne?
e) Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji i przechodzi przez punkt (1, 3).
a) Aby wyznaczyć szukane wartości argumentu, wystarczy rozwiązać równanie
7x + = 3
7x = 3 –
7x = /:7
x =
Dla x = dana funkcja przyjmuje wartość 3.
b) Aby obliczyć, dla jakich argumentów wartości tej funkcji są większe od –2, wystarczy rozwiązać nierówność
7x + > -2
7x > -2-
7x > /: 7
x >
c) Wyznaczając współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią x wyznaczamy jednocześnie miejsce zerowe tej funkcji. Jak wiadomo, miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Zatem wystarczy przyrównać funkcję do 0 i rozwiązać równanie
7x + = 0
7x = - /: 7
x = -
Wyznaczając współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią y, szukamy punktu o współrzędnych postaci (0,b), gdzie b jest współczynnikiem występującym we wzorze. Zatem nasza funkcja przecina oś x w punkcie (-,0), a oś y w punkcie (0, ).
d) Szukamy wartości argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli mniejsze od 0. Zatem musimy rozwiązać nierówność
7x + < 0
Po rozwiązaniu nierówności otrzymujemy x <- ( dla wszystkich x mniejszych od - funkcja przyjmuje wartości ujemne).
e) Aby wykresy funkcji liniowych były równoległe ich współczynniki kierunkowe musza być takie same. Znając współczynnik kierunkowy prostej i współrzędne choć jednego punktu możemy wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej i przechodzącej przez podany punkt.
Nasza funkcja ma równanie y = 7x + . Jej współczynnik kierunkowy jest równy a = 7, więc współczynnik kierunkowy prostej równoległej do naszej funkcji musi być identyczny. Przyjmując, że szukany wzór ma postać
y = ax + b,
po podstawieniu wartości współczynnika kierunkowego otrzymujemy
y = 7x + b.
Ponieważ szukana prosta ma przechodzić przez punkt o współrzędnych (1,3), więc te współrzędne spełniają jej równanie. Fakt ten wykorzystujemy do wyznaczenia współczynnika b. Podstawiając odpowiednio współrzędne danego punktu do równania szukanej prostej otrzymamy
3 = 7×1 + b
b = 3 – 7
b = -4
Zatem prosta równoległa do prostej y = 7x + i przechodząca przez punkt (1,3) ma równanie y = 7x – 4.
Ćwiczenie 3
Rozwiąż zadanie 8,9 str.204 oraz 12 str. 205 z podręcznika.
(zadanie 11 str. 205)
a) Wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji f : x
i g : x.
Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji wystarczy z ich równań zbudować układ i go rozwiązać.
3x + 2 =
3x + = -2 –1
/
Mając wyznaczony x podstawiamy go do jednego z równań i wyznaczamy y
y = 3×(-) + 2
y = - + 2
y = -
Zatem wykresy funkcji f i g przecinają się w punkcie o współrzędnych (-,-).
(zadanie 13 str. 205)
a) znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty o współrzędnych (2,1) i (-2,-3).
Szukane równanie możemy zapisać w postaci y = ax + b. Współrzędne danych punktów spełniają to równanie, zatem
Do rozwiązania tego układu można zastosować metodę przeciwnych współczynników, gdyż przy niewiadomej a mamy liczby przeciwnych znaków.
1 – 3 = 2a – 2a + b + b
-2 = 2b /: 2
b = -1
Podstawiając do pierwszego równania wyznaczoną wartość otrzymamy
1 = 2a –1
1+ 1 = 2a /:2
a = 1
Zatem szukana prosta ma równanie y = x – 1.
Ćwiczenie 4
Rozwiąż zadanie 13 str.205 z podręcznika.
marysiari