Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową n-tego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność postaci:

(*) anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0>0,

lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0<0,

lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0³0,

lub

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0£0.

Przy rozwiązywaniu powyższej nierówności wykorzystujemy zasadę:

-          jeżeli pierwiastkami wielomianu:  anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
są liczby: x1, x2, ..., xk przy czym x1<x2<...<xk, to w każdym z przedziałów:

(-¥; x1), (x1; x2), ..., (xk; ¥) wielomian ma stały znak.

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postaci (*) należy:

1.      lewą stronę nierówności rozłożyć na czynniki co najwyżej 2-go stopnia,

2.      każdy z czynników przyrównać do zera i wyznaczyć pierwiastki wielomianu (tzn. miejsca zerowe),

3.      zaznaczyć pierwiastki na osi liczbowej w kolejności rosnącej,

4.      poprowadzić wężyk przechodzący przez kolejne miejsca zerowe według zasady:
wężyk prowadzimy od prawej do lewej strony osi zaczynając rysowanie z góry jeżeli an>0 lub z dołu jeżeli an<0.

Uwaga: jeżeli pierwiastek jest parzystej krotności to prowadząc wężyk wykonujemy odbicie symetryczne w miejscu danego pierwiastka:

ZADANIE 1

Rozwiąż nierówność:       (x – 3)(1 – x)(x + 4)3(2 – x)2 > 0.

Rozwiązanie:

Lewa strona nierówności jest rozłożona na czynniki liniowe, zatem wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x – 3 = 0              lub               1 – x = 0               lub              (x + 4)3 = 0                            lub               (2 – x)2 = 0

x = 3                             lub              x = 1                             lub               x = -4 trzykrotny               lub               x = 2 dwukrotny.

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i prowadzimy wężyk zgodnie z zasadą opisaną powyżej

anxn = x×(-x)×x3×(-x)2 = -x7, an = -1 < 0

Ponieważ współczynnik an przy najwyższej potędze zmiennej x jest ujemny więc wężyk prowadzimy zaczynając z dołu:

Odczytujemy znak dodatni:

(x – 3)(1 – x)(x + 4)3(2 – x)2 > 0              Û               x Î (-¥; -4) È (1; 2) È (2; 3).

ZADANIE 2

Rozwiąż nierówność:       x5×(x4 – 8x2 – 9)(4 – x4)(x2 + 6x – 7) £ 0

Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x5 = 0 Û x = 0 pięciokrotny,                           

lub              x4 – 8x2 – 9 =0

podst. x2 = z i z ³ 0

z2 – 8 z – 9 = 0

Dz = 64 - 4×(-9) = 100,

nie spełnia założenia z ³ 0

z podstawienia x2 = 9

x = -3 lub x = 3

x4 – 8x2 – 9 =0 Û x = -3 lub x = 3

lub              4 – x4 = 0

(2 – x2)(2 + x2) = 0

2 + x2 = 0, x2 = -2 nie ma rozwiązań,

4 – x4 = 0 Û

lub              x2 + 6x – 7 = 0

D = 36 + 28 = 64

x2 + 6x – 7 = 0 Û x = -7 lub x = 1

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej, ustalamy znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x i prowadzimy wężyk.

anxn = x5×x4×(-x4)×x2 = -x15 , an = -1 <0

Odczytujemy znak niedodatni (£0)

x5×(x4 – 8x2 – 9)(4 – x4)(x2 + 6x – 7) £ 0 Û x Î<-7; -3> È <-; 0> È <1; > È <3; ¥).

ZADANIE 3

Rozwiąż nierówność: x4 + 2x3 – x – 2 < 0

Rozwiązanie:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki metodą grupowania:

x3(x + 2) – (x + 2) < 0

(x + 2)(x3 – 1) < 0

czynnik x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) ze wzoru a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2 )

Nierówność ma postać:
(x + 2)(x – 1)(x2 + x + 1) < 0
x + ...