W zastosowaniach praktycznych ważne jest znajdowanie wypadkowej obciążenia ciągłego i jej linii działania.
Zostanie to omówione na przykładzie obciążenia rozłożonego według funkcji q(x) na odcinku AB belki (rys.17).Przyjęto układ współrzędnych, z osią y skierowaną w dół. Układ taki często przyjmuje się w mechanice budowli, gdyż zwrot osi między innymi opisuje dodatni kierunek obciążenia ciężarem własnym oraz dominujący kierunek ugięć elementów.
Rys.17. Obciążenie ciągłe oraz jego wypadkowa
Wypadkowa obciążenia ciągłego, będąca polem figury ograniczonej funkcją q(x), jest równa wartości całki.
(13)
Położenie linii działania wypadkowej określamy jednoznacznie przez odciętą xW. Moment MW wypadkowej W względem punktu O (rys.17) oblicza się z zależności:
(14)
Moment MP obciążenia ciągłego względem tego samego punktu O można obliczyć za pomocą całki, sumując momenty od poszczególnych nieskończenie małych sił q(x)dx, działających na ramieniu x. Zatem:
(15)
Obydwa momenty muszą być sobie równe (MW = MP), a więc porównując prawe strony wyrażeń (14) i (15), ostatecznie otrzymujemy:
(16)
Dla najczęściej spotykanego obciążenia o intensywności q, równomiernie rozłożonego na belce o długości l, wypadkowa W=ql, a jej linia działania znajduje się w środku belki (xW=1/2).
Znaleźć wypadkową i położenie jej linii działania dla obciążenia trójkątnego, rozłożonego na fragmencie układu prętowego, przedstawionego na rysunku 18.
Rysunek 18. Obciążenie trójkątne rozłożone na fragmencie układu prętowego
Obciążenie trójkątne opisane jest funkcją q(x), którą wyznaczamy wykorzystując np. twierdzenie Talesa
Podstawiając powyższą wielkość do związku (13), a następnie do wzoru (16), otrzymujemy:
Kolejnym rodzajem obciążenia jest moment skupiony, którego graficzne oznaczenie przedstawiono na rysunku 19a. Idealna realizacja momentu skupionego w przypadku obciążenia statycznego nie jest możliwa.
Stosunkowo dobre przybliżenie można otrzymać, zaczepiając parę sił na poprzecznych ramionach przymocowanych do pręta. (rys.19b.)
Rysunek 19. Graficzna ilustracja obciążenia momentem skupionym.
W praktyce budowlanej takie obciążenie występuje niezwykle rzadko.
Wszystkie funkcje opisujące mechaniczne zachowanie się pręta są funkcjami jednej zmiennej. Z matematycznego punktu widzenia, pręt jest ustrojem jednowymiarowym. Istnieje więc możliwość prostego, graficznego jego przedstawienia. W tym celu wprowadza się pojecie osi pręta, pod którym należy rozumieć miejsce geometryczne środków ciężkości przekrojów poprzecznych pręta.
Na rysunku 20 pokazano przykłady osi oraz schematy statyczne konstrukcji.
Rysunek 20. Schematy układów prętowych
Przyjęcie konkretnego schematu statycznego nie zawsze jest oczywiste i jednoznaczne. Z reguły schemat statyczny zależy od sposobu wykonania konstrukcji, a zwłaszcza połączeń pomiędzy poszczególnymi elementami.
Konstrukcje – układy prętowe – składają się z połączonych ze sobą w węzłach prętów i opierają się na fundamentach lub innych konstrukcjach za pośrednictwem specjalnych podpór.
Punkty połączeń prętów nazywamy węzłami. W praktyce najczęściej spotykamy dwa sposoby łączenia prętów. Pierwszy sposób to węzeł sztywny. Łączone pręty są wykonane jako całość, np. z żelbetu (rys.21a), lub zespalane w sposób zapewniający sztywność węzła, np. nitami lub śrubami (rys. 21b,c), czy spawane (rys. 21d).
Połączenia monolityczne prętów rysuje się schematycznie, jak na rysunku 21e.
Rysunek 21 Monolityczne połączenia prętów.
Drugim najczęściej spotykanym sposobem łączenia prętów jest połączenie przegubowe. W idealnie wykonanym takim połączeniu końce prętów mają otwory, przez które przełożony jest bolec (rys 22a). Oś bolca jest prostopadła do płaszczyzny układu, zatem przegub pozwala na wzajemny obrót łączonych prętów.
Najistotniejsze jest, że w takim przegubie oddziaływanie między prętami sprowadza się wyłącznie do siły wypadkowej, a moment skupiony w przegubie jest zawsze równy zero (pomija się tarcie między prętami i bolcem).
Oznaczenie połączenia przegubowego dwóch i trzech prętów przedstawiono na rysunku 22b.
Rysunek 22. Przegubowe połączenia prętów.
Podobnie jak w przypadku połączeń monolitycznych, połączenia przegubowe są pewnego rodzaju idealizacją, niezbędną przy dokonywaniu obliczeń.
Rozróżniamy trzy zasadnicze rodzaje podpór: przegubowo-przesuwne, przegubowo nieprzesuwne i sztywne utwierdzenia.
Podpora przegubowo- przesuwna eliminuje przesuniecie w jednym kierunku, pozwala natomiast na swobodne przesuniecie w kierunku doń prostopadłym oraz na swobodny obrót elementu podpartego. Przykłady rzeczywistych konstrukcji podpór pokazano na rysunku 23 a i b (konstrukcja stalowa i żelbetowa), natomiast ich schematy na rysunku 23 c. Na rysunku 23d pokazano położenie reakcji R (siły biernej) jaką trzeba przyłożyć do belki, zastępując myślowo podporę.
Rysunek 23. Podpora przegubowo-przesuwna
Rzeczywiste podparcia układów prętowych zastępuje się schematami przybliżonymi. Na rysunku 24 przedstawiono przyjmowany w obliczeniach schemat podparcia belki stropowej bezpośrednio na murze. Punkt przyłożenia reakcji określają odpowiednie przepisy budowlane.
Rysunek 24 Podparcie belki stropowej
Przykładową podporę przegubowo-nieprzesuwną w konstrukcjach stalowych i żelbetowych przedstawiono na rysunku 25 a i b, schemat na rysunku 5 c, a równoważny układ sił (reakcja pozioma H i pionowa R) po odrzuceniu podpory na rysunku 25 d. Podpora taka pozwala tylko na obrót, nie pozwala na poziome i pionowe przesuniecie.
Rysunek 25. Podpora przegubowo-nieprzesuwna
Reakcję podpory przegubowo-nieprzesuwnej można także przedstawić za pomocą wypadkowej W (rys. 25e).
Wtedy oprócz wartości należy również wyznaczyć jej linie działania, czyli np. kąt jej nachylenia α do poziomu.
Sztywne utwierdzenie końca pręta, zwane też zamocowaniem, można uzyskać wmurowując np. koniec pręta w ścianę 26 a) lub (w przypadku konstrukcji żelbetowej czy stalowej) łącząc go monolitycznie (rys.21 a i c). Wówczas niemożliwe będą ani przemieszczenia, ani obrót końca pręta względem ściany. Podpory utwierdzone oznacza się jak na rysunku 26 b. Oprócz reakcji poziomej H i pionowej R pojawia się dodatkowa reakcja – moment utwierdzenia M (rys.26 c)
Rysunek 26. Utwierdzenie: a) rzeczywiste podparcie, b) idealizacja, c) schemat obliczeniowy
Podstawowe założenia teorii konstrukcji
Metody obliczeniowe stosowane w mechanice budowli oraz wytrzymałości materiałów pozwalają na obliczenie sił wewnętrznych w dowolnej konstrukcji i wymiarowanie jej poszczególnych elementów. Obliczenia takie są możliwe do przeprowadzenia tylko po przyjęciu kilku podstawowych założeń:
1. Założenie stateczności obciążeń. Przyjmuje się, że działające na konstrukcje siły wzrastają od wartości zerowej aż do wartości ostatecznej w sposób ciągły i nieskończenie powolny, co pozwala na pominięcie sił bezwładności.
2. Założenie o małych odkształceniach (przemieszczeniach) konstrukcji pozwala rozwiązywać zagadnienia dotyczące równowagi układów ulegających odkształceniom. Zgodnie z tym założeniem, dla belki wspornikowej przedstawionej na rysunku 27 przyjmujemy, że l=l0, co jest bliskie rzeczywistości, gdyż w praktyce ugięcie belek jest nieznaczne i różnica l - l0 jest nieskończenie mała w porównaniu z długością l.
Rysunek 27. Interpretacja zasady założenia o małych odkształceniach na przykładzie belki wspornikowej.
3. Zasada superpozycji. Zakłada się, że poszczególne siły działają niezależnie od siebie. W wyniku tego reakcje podporowe, siły wewnętrzne lub odkształcenia konstrukcji spowodowane łącznym działaniem układu sił są równe sumie odpowiednich wielkości, od działania każdej z tych sil z osobna. Przykładem jest przemieszczenie pionowe w przekroju α belki przedstawionej na rysunku 28.
Rysunek 28. Interpretacja zasady superpozycji
4. Założenie ciągłości, jednorodności i izotropii materiału. Ciągłość materiału oznacza, że wypełnia on dane ciało w sposób ciągły. Materiał jednorodny, jeżeli w każdym punkcie danego ciała ma takie same właściwości mechaniczne (wytrzymałość, odkształcalność). Materiał izotropowy to taki, w którym właściwości te są jednakowe we wszystkich kierunkach. Materiał, który nie spełnia tego warunku nosi nazwę anizotropowy (np. drewno). Podstawowe materiały budowlane , takie jak stal i beton, można uznać za ciągłe jednorodne i izotropowe.
5. Założenie płaskich przekrojów (Bernoulliego). Przyjmuje się, że przekrój płaski, przeprowadzony myślowo w ciele nie odkształconym, może zmienić swoje położenie po odkształceniu, ale pozostaje nadal płaski.
Rysunek 29. Interpretacja zasady płaskich przekrojów
6. Zasada de Saint – Venanta. Zakłada się, że przyłożona w danym miejscu siła wpływa tylko w bliskim sąsiedztwie na rozkład naprężeń (siły wewnętrzne rozłożone na powierzchni przekroju). Jeśli wiec np. na końcu pręta przyłoży się w różny sposób obciążenie w postaci pojedynczej siły lub grupy sił skupionych (rys. 30), to w pewnej odległości rozkład będzie jednakowy (np. równomierny).
Rysunek 30. Interpretacja zasady de Saint-Venata
25
knsia