Standardowe kratownice, których schematy przedstawiono na rysunku 2.53, zbudowane są z prostoliniowych prętów połączonych ze sobą w węzłach. Pręty te tworzą charakterystyczną dla kratownic siatkę trójkątów. Kratownice są wykorzystywane w budownictwie mostowym, w konstrukcjach masztów, jako wiązary dachowe.
Rysunek 2.53. Schematy statyczne kratownic.
Górne pręty tworzą pas górny, dolne – pas dolny, pręty pionowe łączące obydwa pasy nazywają się słupkami, a pręty ukośne – krzyżulcami. Pasy mogą być równoległe lub zbieżne. Kratownice klasyfikuje się przede wszystkim w zależności od sposobu podparcia lub schematu statycznego.
Można zatem wyróżnić między innymi kratownice swobodnie podparte (rys.2.53a, c), wspornikowe (rys.2.53b), trójprzegubowe (rys.2.53d) i ciągłe-przegubowe (rys.2.53e). Powszechnie konstruuje się także kratownice przestrzenne.
Jednak poniżej zostaną omówione płaskie układy kratowe, w których pręty i działające w węzłach obciążenie leżą w jednej płaszczyźnie.
Wybór rodzaju kratownicy zależy przede wszystkim od jej przeznaczenia. Kratownice trójkątne i trapezowe znajdują zastosowanie przede wszystkim jako wiązary dachowe. Kratownice o pasach równoległych najczęściej stosowane są w budownictwie przemysłowym, natomiast kratownice o pasach parabolicznych w konstrukcjach mostowych. Kratownice stosowane są często przy dużych rozpiętościach, gdyż są lżejsze np. od belek. Wykonanie takiej konstrukcji jest bardziej skomplikowane od wcześniej omówionych układów.
Schematy przedstawione na rysunku 2.53 pokazują konstrukcje statycznie niewyznaczalne. Uzasadnionym uproszczeniem w obliczeniach sił wewnętrznych jest założenie, że wszystkie pręty zbiegające się w węzłach połączone są w sposób przegubowy.
Ponadto przyjęto:
-osie schodzących się w kratownicy prętów, przecinają się w jednym punkcie – środku przegubu;
-obciążenie zewnętrzne działające na kratownicę jest przykładane wyłącznie w węzłach w postaci sił skupionych;
-ciężar własny konstrukcji, zazwyczaj niewielki w porównaniu z obciążeniem użytkowym, zastępuje się siłami skupionymi, przyłożonymi także w węzłach.
W celu uproszczenia rysunków, połączeń przegubowych - zastępujących sztywne węzły kratownic - nie oznacza się kółkami.
W rzeczywistych kratownicach sztywność połączeń węzłowych powoduje powstanie w prętach dodatkowych sił wewnętrznych, są one jednak drugorzędne.
Analizę sił w prętach i węzłach kratownicy można przeprowadzić, wycinając z dowolnego układu kratowego pręt AB (rys.2.54a) i badając jego warunki równowagi.
Rysunek 2.54 Równowaga pręta kratownicy
Momenty zginające w przegubach A i B pręta z definicji są równe zero. Ponadto pręt AB, zgodnie z założeniem, nie jest obciążony. Momenty i siły poprzeczne są więc równe zero (M=V=0), a w pręcie kratownicy może wystąpić jedynie siła podłużna (normalna) N, stała na całej długości pręta (rys.2.54b).
Rozpatrując dowolny wycięty węzeł kratownicy (węzeł A lub B rys.2.54), stwierdzono, że w każdym z tych węzłów występuje zbieżny układ sił. Wydzielony węzeł musi spełniać warunki równowagi, zatem należy zastosować dwa równania: sumy rzutów wszystkich sił na osie poziomą i pionową . Dla kratownicy o liczbie węzłów równej w można zapisać 2w równań równowagi. Z tych 2w równań równowagi wyznacza się siły podłużne we wszystkich p prętach kratownicy oraz r składowych reakcji podpór.
Kratownica jest zatem statycznie wyznaczalna, jeżeli spełniony jest warunek:
r + p –2w = 0 (2.34)
Spełnienie powyższej równości jest jednak jedynie warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym. Należy sprawdzić czy sposób połączenia prętów kratownicy zapewnia jej geometryczną niezmienność.
Według przyjętej konwencji siły rozciągające w prętach określane są dodatnie. W węźle, w wyniku oddziaływania pręta, powstanie siła o tej samej wartości, lecz przeciwnie skierowana. (rys.1.45b). W obliczeniach zazwyczaj jest analizowana równowaga węzłów, zatem dodatnie zwroty działających na nie sił przyjęto jak na rysunku 2.54.b.
Stosuje się dwie metody wyznaczania sił w prętach kratownicy – metodę kolejnego równoważenia węzłów oraz metodę przekrojów.
W metodzie pierwszej niewiadome siły w prętach wyznacz się z równań równowagi poszczególnych węzłów. Obliczenia rozpoczyna się od węzła w którym występują co najwyżej dwie nieznane siły. Przechodząc do kolejnych węzłów, można wyznaczyć wszystkie siły podłużne.
Zadanie
Wyznaczyć siły w prętach kratownicy o pasach równoległych (rys.2.55a)
Rysunek 2.55. Schemat statyczny kratownicy.
Kratownica jest statycznie wyznaczalna gdyż:
r + p – 2w = 3 + 9 – 2*6=0
czyli warunek (2.34) jest spełniony
Obliczenia rozpoczęto, tak jak dla omówionych wcześniej przykładów, od wyznaczenia składowych reakcji podporowych z trzech następujących równań równowagi:
Po sprawdzeniu wykonanych obliczeń otrzymano:
Wyznaczono siły wewnętrzne (podłużne) w prętach kratownicy.
Obliczenia można zacząć od węzła D lub F, w których zbiegają się dwa pręty o nieznanych siłach.
Wycięto myślowo węzeł D i zbadano jego równowagę. Równania równowagi sumy rzutów wszystkich sił na oś pionową i poziomą są następujące:
Otrzymano zatem zerowe siły wewnętrzne w obydwu prętach.
W węźle A działają RA i HA, znana zerowa siła S1 oraz dwie nieznane siły w prętach K1 i D1 (rys.2.55e). Rzutując wszystkie siły na oś pionową otrzymano równanie z jedną niewiadomą K1.
Sumując rzuty wszystkich sił na oś poziomą, wyznaczono drugą nieznaną siłę D1 w węźle
Obliczenia w węźle A rozpoczęto od równania sumy rzutów sił na oś pionową, gdyż w tym równaniu wystąpiła tylko jedna niewiadoma K1.
Dopiero teraz można przejść do węzła E (rys.2.55c), gdyż z pięciu nieznanych sił podłużnych wyznaczono już trzy (G1, K1, i S2). Odpowiednie równania równowagi są następujące:
W węźle podporowym B (rys.2.55g) pozostała jedna niewiadoma S3, którą można obliczyć z równania równowagi sumy rzutów wszystkich sił na oś pionową.
W węźle F (rys.2.55d) znane są wartości wszystkich sił, a więc odpowiednie równania równowagi będą sprawdzeniem rozwiązania całego układu:
W przypadku kratownic nie zachodzi potrzeba wykonywania rysunków sił wewnętrznych, gdyż siły w każdym pręcie mają przebieg równomierny. Podsumowując można umieścić wartości sił, tak jak na rysunku 2.56. Znak minus oznacza, że pręt jest ściskany. Pręty zerowe oznaczane są na rysunku podwójnym skreśleniem.
Rysunek 2.56. Wartości sił w prętach kratownicy.
Metoda przekrojów (Rittera)
pozbawiona jest wad metody kolejnego równoważenia węzłów, gdyż umożliwia niezależne wyznaczanie sił w dowolnych prętach kratownicy. Metodę tę można zastosować jednak wyłącznie dla przekrojów kratownic zawierających co najwyżej trzy pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie..
Wyznaczyć siły we wskazanych trzech prętach kratownicy przedstawionej na rysunku.
Rysunek 2.57. Kratownica o pasach równoległych
Kratownica jest zbudowana z p=17 prętów połączonych w=10 węzłami, a więc zgodnie z równaniem (2.34) jest statycznie wyznaczalna
r + p - 2w = 3 + 17 - 2 * 10 = 0
Składowe reakcji obliczamy w standardowy sposób:
Z uwagi na symetrię układu i obciążenia otrzymano równe wartości reakcji RA i RB.
W celu wyznaczenia sił podłużnych w prętach pasów górnego DHJ i dolnego DDE oraz krzyżulca KHE, przecięto te trzy pręty – przekrój α-α na rysunkach 2.57 i 2.58.
Należy zwrócić uwagę, że w przeciwieństwie do belek i ram miejsce poprowadzenia przekroju między punktami HJ, HE i DE jest obojętne, gdyż siły podłużne maja jednakowe wartości w całym pręcie.
Wszystkie trzy siły wewnętrzne działające w przekrojach prętów, tj. GHJ, DDE i KHE, są nieznane.
Rysunek 2.58. Kratownice podzielone na dwie części : a) lewą, b) prawą
Można je wyznaczyć z trzech równań równowagi. W praktyce ważne jest takie dobranie równań, aby każde z nich zawierało tylko jedną niewiadomą. Można to uzyskać, zapisując sumy momentów względem punktów przecięcia osi odpowiednich dwóch prętów przekroju.
Siłę w pasie górnym GHJ obliczono z równań sumy momentów względem punktu E, gdyż wtedy siły w krzyżulcu KHE i pasie dolnym DDE nie powodują powstania momentów. Obliczenia wykonano dla prawej części kratownicy (rys.2.58b), gdyż po tej stronie znajdują się jedynie dwie siły skupione.
Uzyskano następujące równanie:
Z równania sumy momentów względem punktu H wyznaczono siłę w pasie dolnym DDE.
Do wyznaczania siły w krzyżulcu KHE wykorzystano równanie sumy rzutów wszystkich sił znajdujących się na odciętej części kratownicy na oś pionową.
Siły w prętach GHJ, DDE i KHE można także obliczyć korzystając z równań równowagi dla lewej części kratownicy (rys.2.58a). Zatem:
Otrzymano takie same wartości sił wewnętrznych. Pozostałe obliczenia wykonuje się podobnie. Można je przeprowadzić tylko dla połowy układu, gdyż ze względu na jego symetrię siły podłużne będą także rozłożone symetrycznie. Wyniki przedstawiono na rysunku poniżej.
Rysunek 2.59. Wartości sił w prętach kratownicy.
Nie wszystkie siły w prętach kratownicy można wyznaczyć metodą przekrojów. Z kolei metoda kolejnego równoważenia węzłów może być zbyt pracochłonna i uciążliwa. W praktycznych obliczeniach najczęściej łączy się obydwie metody, wyznaczając siły w niektórych prętach metodą kolejnego równoważenia węzłów, a w innych metodą przekrojów.
W wielu przypadkach oblicza się siły jedynie w wybranych prętach, w których można spodziewać się wystąpienia wartości ekstremalnych. Nie ma wówczas konieczności analizowania całej kratownicy.
Obliczanie sił w prętach kratownic ułatwiają następujące reguły:
1. Jeżeli nieobciążony węzeł łączy dwa pręty o dowolnych kierunkach, to nie wystąpią w nich siły S1 =S2=0 (rys.2.60a). Wynika to z równań rzutów sił na osie x i y.
2. Jeżeli w węźle nieobciążonym zbiegają się trzy pręty, z których dwa leżą na jednej prostej (oś x na rys.2.60b), to równania sumy rzutów sił na oś y wynika, że siła w trzecim dochodzącym do nich pręcie jest równa zero (S3=0). Ponadto w prętach leżących na jednej prostej siły będą jednakowe (S1=S2). Reguła ta dotyczy także węzła obciążonego, w którym zbiegają się dwa pręty i jeden z nich leży na linii działania siły (rys.2.55d).
3. Jeżeli węzeł nieobciążony łączy cztery pręty leżące parami na dwóch prostych (rys.2.60c), to wartość sił w każdej parze są sobie równe (S1=S3, S2=S4).
Rysunek 2.60. Szczególne przypadki węzłów kratownicy.
Wymienione wyżej zasady można zastosować do analizy wybranych węzłów kratownicy na rysunku 2.55. I tak:
- w węźle D można zastosować regułę 1 i bez obliczeń otrzymano: G1=S1=0,
- w węźle C można wykorzystać regułę 2 i otrzymano: S2=0 oraz D1=D2,
- w węźle F można także zastosować regułę 2, uzyskując: S3=0 oraz G2=40kN.
...
knsia