Szereg_Fouriera_przyklady.doc

(72 KB) Pobierz

PRZYKŁAD

Szereg Fouriera – przykłady Strona 1 z 3

Przykład 1.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x2 na przedziale [-p, p]. .

Wszystkie współczynniki bn są równe zero (funkcja parzysta).

Liczymy pozostałe współczynniki:

$\displaystyle \aligned a_0 &= \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{\pi^2}{3},\\ a_n &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx\\ &= \frac{2}{\pi}x^2\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}- \frac{4}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx\\ &= \frac{4}{n\pi}x\frac{\cos(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi}-\frac{4}{n^2\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos(nx)dx=(-1)^n\frac{4}{n^2}. \endaligned$

Funkcja spełnia warunki Dirichleta, możemy więc napisać:

$\displaystyle x^2 \ =\ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos(nx)}{\pi}.$

Podstawiając w tym wzorze $\displaystyle x=\pi$ i pamiętając, że $\displaystyle \cos(n\pi)=(-1)^n$ , otrzymujemy

$\displaystyle \pi^2 \ = \ \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^n}{n^2},$

czyli

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6},$

Przykład 2.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x zadaną na przedziale (-p, p).

Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera:

Funkcja jest nieparzysta, zatem a0 = 0 i am= 0 dla m Î N.

$\displaystyle \aligned b_m &= \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin(mx)dx=-\frac{1}{\pi}x\frac{\cos(mx)}{m}\bigg|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\cos(mx)}{m}dx\\ &= -\left(\frac{1}{\pi}\pi\frac{\cos(m\pi)}{m}-\frac{1}{\pi}(-\pi)\frac{\cos(m(-\pi))}{m}\right)+ \frac{1}{m\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)=\frac{2}{m}(-1)^{m+1}+\frac{1}{m^2\pi}\sin(mx)\bigg|_{-\pi}^{\pi}\\ &= \frac{2}{m}(-1)^{m+1}. \endaligned$

A zatem szereg Fouriera funkcji $\displaystyle f(x)=x$ w przedziale $\displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi]$ jest dany wzorem

$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{m+1}}{m}\sin(mx).$

Uwaga

Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do $\displaystyle f$ na całym przedziale otwartym $\displaystyle \displaystyle (-\pi,\pi).$ Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).

Przykład 3.

Rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0, p] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy.

Jeśli mamy rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0, p] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział [-p, p] tak, by dostać funkcję parzystą.

Funkcja przedłużona jest więc określona wzorem

$\displaystyle \tilde f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} x, & \textrm{dla} \displaystyle & x\in [0,\pi] \\ -x, & \textrm{dla} \displaystyle & x\in [-\pi,0]. \end{array} \right.$

Funkcję $\displaystyle \displaystyle\tilde f(x)$ możemy rozszerzyć okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Zauważmy, że spełnia ona warunki Dirichleta.

Wyznaczamy współczynniki Fouriera:

$\displaystyle a_0 \ =\ \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)dx=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}xdx \ =\ \frac{x^2}{2}\bigg|_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}.$

Dla $\displaystyle n=1,2,\ldots$

$\displaystyle a_n \ =\ \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x)\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}x\cos(nx)dx=$

(całkujemy przez części, $\displaystyle u(x)=x, v'(x)=\cos(nx)$ )

$\displaystyle =\frac{2}{\pi}x\frac{\sin(nx)}{n}\bigg|_0^{\pi} -\frac{2}{n\pi}\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\sin(nx)dx=\frac{2}{n^2\pi}(\cos(n\pi)-1).$

Zatem, skoro $\displaystyle \displaystyle\cos(n\pi)=(-1)^n,$ mamy

$\displaystyle a_{2k}=0, \ a_{2k-1}=\frac{-4}{(2k-1)^2\pi}.$

Oczywiście bn = 0, nÎN.

Tak więc szukany szereg ma postać

$\displaystyle \frac{\pi}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{-4}{(2k-1)^2\pi}\cos((2k-1)x).$

Przykład 4

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję określoną na przedziale $\displaystyle \displaystyle [-\pi,\pi]$ wzorem

Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo jest ona swoim (skończonym) szeregiem trygonometrycznym.

(Współczynniki szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem jeśli znajdziemy przedstawienie funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to jest to rozwinięcie w szereg Fouriera).

Plik z chomika:

Magnifita

Szereg_Fouriera_przyklady.doc

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: