Iloraz różnicowy
Jeżeli funkcja f jest określona w przedziale (a, b) oraz x0 i x1 należą do tego przedziału przy czym x0 ¹ x1 to różnicę x1 - x0 nazywamy przyrostem h argumentu od x0 do x1, a f(x1) - f(x0) przyrostem wartości funkcji f odpowiadającej przyrostowi argumentu.
Ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadającej przyrostowi argumentu h=x1-x0 (przy czym x0 ¹ x1 oraz x1, x0 należą do przedziału (a, b)) jest iloraz:
Pochodna funkcji
Jeżeli f jest określona w przedziale (a, b) i x0 należy do tego przedziału oraz istnieje skończona granica ilorazu różnicowego przy h dążącym do 0, to wtedy tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy ją f '(x0).
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, jeżeli ma pochodną w tym punkcje.
Pochodne jednostronne funkcji:
Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę jednostronną w punkcie x0 , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną (prawostronną lub lewostronną) funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy odpowiednio symbolami:
,
Pochodna f '(x0) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:
Pochodna f '(x0) jest równa tangensowi kąta a, jaki tworzy z osią OX styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x0. Równanie tej stycznej jest postaci
y - y0 = f '(x0)(x – x0), gdzie y0 = f(x0).
Maksimum lokalne:
Funkcja f ma w punkcie x0 D f maksimum lokalne równe f(x0) ó gdy istnieje takie otoczenie U punktu x0 , że dla każdego xUD f i xx0 jest spełniona nierówność f(x)< f(x0).
Maksimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.
Minimum lokalne:
Funkcja f ma w punkcie x0 Df minimum lokalne równe f(x0) ó gdy istnieje takie otoczenie U punktu x0 , że dla każdego xUDf i xx0 jest spełniona nierówność f(x)> f(x0).
Minimum lokalne wyznaczamy korzystając z różniczkowego kryterium istnienia ekstremum lokalnego funkcji.
===================================
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0Df ekstremum, to w tym punkcie pochodna f’(x0) =0 lub pochodna f’(x0) nie istnieje.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji
(zmiana znaku pochodnej w pobliżu x0)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0Df i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie S(x0;d) przy czym:
f’(x)>0 dla x (x0-d; x0) i f’(x)<0 dla x (x0;x0+d)
[ f’(x)<0 dla x (x0-d; x0) i f’(x)>0 dla x (x0;x0+d) ]
to funkcja ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne.
==========================================
(ale tylko dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych).
Załóżmy, że funkcja f jest
-n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U Ì D f punktu x0,
-jej n-ta pochodna jest ciągła w punkcie w tym otoczeniu oraz
-wszystkie pochodne niższych rzędów od n są równe 0 w tym punkcie
(f(k)(x0) = 0, k=1, ..., n-1) a n-ta pochodna jest pierwszą różną od zera w tym punkcie (f(n)(x0) ≠ 0) to :
- jeżeli n jest liczbą nieparzystą to funkcja nie ma ekstremum w punkcie x0,
- jeżeli n jest liczbą parzystą f(n)(x0)>0 to funkcja ma minimum w punkcie x0
- jeżeli n jest liczbą parzystą f(n)(x0)<0 to funkcja ma maksimum w punkcie x0.
O ile istnieje to maksimum czy też minimum (lokalne) to wynosi ono f(x0).
Funkcja y= f(x) ma w punkcie x0D f minimum (maksimum) globalne, jeżeli dla każdego xD f spełniona jest nierówność:
f (x) ³ f (x0) [ f(x) £ f(x0) ]
Równanie stycznej do wykresu funkcji f:
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz f(x0)=y0 to prostą: y – y0= f’(x0)(x-x0)
nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie P0=(x0;y0).
f’(x0) jest współczynnikiem kierunkowym prostej - stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P0=(x0;y0).
Asymptota pionowa:
Niech funkcja f jest określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0.
Prosta o równaniu x=x0 jest asymptotą lewostronną wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x)=¥ lub lim f (x)= -¥
x®x0- x®x...
WSHiR-2008