Równania różniczkowe.doc

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

,

w którym niewiadomą jest funkcja i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów.

Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego zwyczajnego w przedziale (a,b) nazywamy każdą funkcje zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej

lub w postaci uwikłanej

,

która spełnia równanie dla .

Definicja

Wykres funkcji nazywamy krzywą całkową równania .

Definicja

Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania zależne od n dowolnych stałych , wyrażone w postaci jawnej

lub w postaci uwikłanej

i takie, że podstawiając dowolne wartości za otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.

Podstawiając za konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne równania .

Definicja

Rozwiązanie osobliwe jest to rozwiązanie równania , którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za dowolnych wartości.

Zagadnieniem Cauchy’ego równania nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe:

gdzie nazywamy wartościami początkowymi.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania spełniającą warunek początkowy: .

- jest rozwiązaniem szczególnym tego równania.

Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego

Rozważmy równanie różniczkowe, rzędu pierwszego

,  gdzie.

Funkcja f przyporządkowuje każdemu punktowi kierunek stycznej do krzywej całkowej w punkcie .

Izokliną równania nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny OXY, w których styczne do krzywych całkowych do tego równania mają jednakowy kierunek.

Ustalmy wartości pochodnej , gdzie m=const. Wtedy izoklina to zbiór:

Umowa

Jeśli w równaniu różniczkowym rzędu pierwszego nie istnieje oraz , to punktowi przyporządkowujemy element równoległy do osi OY.

Natomiast jeśli w punkcie nie istnieją: , to punkt ten nazywamy punktem osobliwym równania.

Przykład

Stosując metodę izoklin wyznaczyć krzywe całkowe równania różniczkowego .

Izokliny określone są równością:

Ponadto prosta  spełnia równanie, bo równanie to możemy zapisać w postaci stąd Zatem elementy styczne w punktach prostej są równoległe do osi OY. Ponadto punkt (0,0) jest punktem osobliwym stąd wynika, że krzywymi całkowymi tego równania są okręgi gdzie .

Twierdzenie (Cauchy’ego)

Jeśli              ,

f - spełnia warunek Lipschitza względem zmiennej y w obszarze D, tzn.

: ,

to               przez każdy punkt wewnętrzny przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa spełniająca równanie , przy czym .

Uwaga

Jeśli jest funkcją ograniczona w D, to funkcja f spełnia warunek Lipschitza ze względu na zmienną y w obszarze D.

30

Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Niech              ,

              ,   gdzie (a,b),(c,d) – są to skończone lub nieskończone przedziały,

,

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to można zapisać równoważnie:

.

Stwierdzenie

Niech               F – funkcja pierwotna funkcji f w (a,b),

H – funkcja pierwotna funkcji h w (c,d).

Wtedy zbiór rozwiązań równania jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania

       ,

gdzie (C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y).

Dowód

Niech spełnia równanie . Zatem

                oraz  .

Stąd

czyli

Niech spełnia równanie .

Ponieważ oraz ,

zatem albo w albo H’<0 w funkcja H jest więc silnie monotoniczna w przedziale (c,d) i

Stąd, ponieważ założyliśmy, że

otrzymujemy

,

więc .

Możemy skorzystać z twierdzenia o pochodnej złożenia:

czyli spełnia równanie .                                                       

Uwaga

Równanie zapisujemy w tradycyjny sposób

        .

Twierdzenie

Jeśli

to

wzór przedstawia całkę ogólną równania ,

      przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa                                                                                                        

             równania .

Przykład

Rozwiązać równanie .

Rozdzielamy zmienne i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy równanie).

Stąd

,  gdzie ,

i otrzymujemy rozwiązanie

, dla .

Gdy ; równanie jest spełnione,

                                               czyli jest krzywą całkową równania.

Zatem rodzina

jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.

Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzalne do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I  Równanie jednorodne

Niech oraz .

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej ...