1-3-zespolone.doc

8

Liczby zespolone

Definicja. Parę nazywamy liczbą zespoloną, zaś jednostką urojoną.

Zbiór nazywamy zbiorem liczb zespolonych. Płaszczyznę z układem prostokątnych współrzędnych nazywamy płaszczyzną zespoloną, jeśli każdy wektor o początku w (0,0) i końcu  reprezentuje liczbę zespoloną .

              Uwagi. Każdą liczbę zespoloną można zapisać w dwóch postaciach: .

Definicja. Dane są liczby zespolone oraz . Wówczas , , ,

Jeśli , to a nazywamy częścią rzeczywistą, b zaś częścią urojoną liczby zespolonej z, czyli , modułem nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą , zaś kąt nazywamy argumentem liczby z: jest to kąt skierowany jaki tworzy wektor reprezentujący liczbę  z z osią OX.

Uwagi. Jeśli i , to . Zbiór liczb rzeczywistych jest zatem częścią zbioru liczb zespolonych, tzn. każda liczba rzeczywista a jest liczbą zespoloną ale oczywiście nie na odwrót. Liczby zespolone postaci nazywają się liczbami urojonymi. Ponieważ liczby zespolone można traktować jako wielomiany, działania na liczbach zespolonych można traktować jak zwykłe działania na wielomianach: tak rozumiane działania pokrywają się z definicją wyżej (ZD).

Wszystkie wzory skróconego mnożenia dla liczb rzeczywistych, wzory na potęgowanie, wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego itd. pozostają słuszne dla liczb zespolonych.

              Twierdzenie. Dla dowolnych liczb zespolonych :

1. (przemienność dodawania i mnożenia),

2. , (łączność dodawania i mnożenia),

3. (rozdzielność mnożenia względem dodawania).

Przykłady.

Definicja. Liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną nazywamy liczbę

Uwagi. Liczby zespolone sprzężone są reprezentowane przez punkty na płaszczyźnie, symetryczne względem osi OX. Zauważmy, że liczby sprzężone mają następujące własności:

, .

Przykłady.

Pierwiastek stopnia drugiego z liczby zespolonej

Definicja. wtedy i tylko wtedy, gdy

Przykłady

1. Obliczamy .

, a zatem należy rozwiązać w liczbach rzeczywistych  układ . Są dwa rozwiązania: (-2,-1) i (2,1). Zatem istnieją dwa szukane pierwiastki:.

2. Obliczyć (ZD).

3. Obliczyć (ZD).

Rozwiązywanie równań w liczbach zespolonych

Niech dane będzie równanie algebraiczne

(4.4)               ,

gdzie .

              Twierdzenie (Zasadnicze tw. Algebry). Równanie algebraiczne (4.4) ma w zbiorze C dokładnie n pierwiastków.

              Definicja. Pierwiastniki równania algebraicznego są to wzory na wszystkie pierwiastki tego rownania.

              Twierdzenie. Nie istnieją pierwiastniki dla równań stopnia .

              Uwagi. Łatwo udowodnić (ZD), że jeśli , to (jeśli z jest pierwiastkiem równania, to jego sprzężenie też jest). Analogiczne twierdzenie dla zbioru nie jest prawdziwe: wiadomo wtedy tylko tyle, że wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych. Jak wiadomo istnieją pierwiastniki dla równań (4.4) stopnia 1., 2. (wzory Vieta), 3. (wzory Cardano) i 4. . Trójmian kwadratowy ma zawsze 2 pierwiastki: albo oba rzeczywiste albo oba zespolone i sprzężone ze sobą. Równanie 3. stopnia ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i może mieć: trzy pierwiastki rzeczywiste albo jeden rzeczywisty i dwa zespolone sprzężone.

4. Obliczając ze wzorów Vieta rozwiązania równania , dostajemy ().

Zauważmy, że powyższa metoda jest skuteczna tylko dla pierwiastków 2. stopnia. Przy np. obliczaniu pierwiastków 3. stopnia odpowiedni układ rownań będzie nieliniowy i 3. stopnia:  będą trudności z jego rozwiązaniem.

5. Rozwiążemy równanie .

Mamy , skąd

6. Wielomian rozkładamy na czynniki stopnia pierwszego:

.

Twierdzenie. Właściwości modułu:

1.

2.

3.

              Dowód.

1. , .

2. .

3. Jeżeli , to oraz . KD.

Interpretacja geometryczna sumy i różnicy liczb zespolonych

Z postaci wektorowej liczb zespolonych (rys. ??) widać, że ich dodawanie [odejmowanie] sprowadza się do dodawania [odejmowania] wektorów reprezentujących te liczby. Moduł różnicy liczb zespolonych jest równy odległości między punktami na płaszczyźnie zespolonej (rys. ??).

Przykłady.

1. Równanie przedstawia zbiór wszystkich z, których odległość od początku układu współrzędnych wynosi 1. Jest to więc okrąg  o środku w początku układu i promieniu równym 1. Istotnie: jeżeli , to , a więc równanie jest równoważne równaniu , czyli .

2. Równanie przedstawia okrąg o środku w punkcie i, mający promień 1. Równanie tego okręgu we współrzędnych prostokątnych ma postać .

3. Równanie , gdzie są punktami stałymi, a z jest punktem zmiennym, przedstawia zbiór wszystkich punktów równoodległych od i .

4. Równanie , gdzie a i c oznaczają stałe dodatnie, jest równaniem elipsy, bo z tego równania odczytujemy, że określono zbiór punktów, których suma odległości od dwóch stałych punktów c i –c i jest wielkością stałą (równą 2a).

5. Zbiór takich punktów z, że , oznacza wnętrze i brzeg koła o promieniu r i środku w punkcie .

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

!!!!!!!!BRAK RYSUNKU

Niech . Wówczas i .

Definicja. Jeśli , to

,

gdzie  , nazywamy jej postacią trygonometryczną.

Przykłady. Postać trygonometryczna liczby .

Postać trygonometryczna liczby .

Dane są dwie liczby zespolone oraz .

Zatem , , . Obliczamy iloczyn

A więc mamy .

Twierdzenie. Mnożenie liczb zespolonych sprowadza się więc do mnożenia ich modułów oraz dodawania ich argumentów:

(3.3)

Danych jest n liczb zespolonych

              . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uogólniając wzory (3.3) metodą indukcji matematycznej dostajemy

.

              Twierdzenie.

                            .

Jeżeli w szczególności a więc  oraz , czyli , to

Dla r = 1 mamy tzw. wzór Moivre’a:

              Twierdzenie (Wzór Moivre’a). .

...