sprawko cw 5.doc

I Zestaw przyrządów:

1. Multimetr typ TH1961

2. Termoelement typ K

3. Przełącznik spoin odniesienia

4. Piecyk FLUKE 9100S

II Cel ćwiczenia:

   Wyznaczenie współczynnika korelacji serii pomiarów napięcia

termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K, oraz obliczenie funkcji regresji.

III Wiadomości wstępne:

Współczynnik korelacji – liczba określająca, w jakim stopniu zmienne są współzależne. Jest miarą korelacji dwu (lub więcej) zmiennych. Istnieje wiele różnych wzorów określanych jako współczynniki korelacji. Większość z nich jest normalizowana tak, żeby przybierała wartości od -1 (zupełna korelacja ujemna), przez 0 (brak korelacji) do +1 (zupełna korelacja dodatnia).

Najczęściej stosowany jest współczynnik korelacji r Pearsona. W przypadku rozkładu dalekiego od dwuwymiarowego normalnego lub istnienia w próbie obserwacji odstających współczynnik korelacji Pearsona może fałszywie wskazywać na nieistniejącą korelację. Wady tej nie mają współczynniki rangowe, które z kolei mają mniejszą efektywność dla rozkładów bliskich normalnemu.

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona - współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi x i y.

    gdzie -1≤r≤1

Jeżeli r jest bliskie ±1 to punkty rozłożone są wzdłuż pewnej prostej, jeżeli r jest bliskie 0 to punkty są nieskorelowane i nie wyznaczają prostej.

Metoda regresji liniowej (metoda najmniejszych kwadratów) jest najpowszechniej stosowaną metodą analityczną. Swoją nazwę zawdzięcza kryterium jakości dopasowania – takiego doboru parametrów prostej, by suma kwadratów różnic wartości eksperymentalnych yi i obliczonych axi+b była jak najmniejsza:

e =[yi−(axi+b)]2 = min

Kryterium to zapewnia najlepsze oszacowanie parametrów prostej przy założeniu, że wszystkie punkty pomiarowe obarczone są jednakowym błędem przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

W celu znalezienia parametrów a i b korzystamy ze zwykłego warunku na minimum funkcji dwu zmiennych:

, .

Można wykazać, że średnie arytmetyczne i spełniają równanie: =a+b, wtedy stałe a i b wyrażają się równaniami:

a = , b = - a

Niepewności standardowe współczynników a i b oraz szukane y wyrażają się równaniami:

u(a) =

u(b) =

u(y) =

gdzie: x0 - wartość pomiaru dla którego wyznacza się niepewność.

IV Wyniki pomiarów:

Piecyk Fluke: zakres temperatur 35°C - 375°C, rozdzielczość 0,1°C, błąd graniczny: ±0,25°C do temperatury 100°C, ±0,5°C do temperatury 375°C

Multimetr Th1961: ustawiany zakres 100.0000 mV, rozdzielczość 0,1 μV, błąd graniczny w temperaturze 23±5°C: ±0,0065% wartości wskazywanej + 0,0045% zakresu

Temperatura otoczenia tot = 19,8ºC

Temperatura lodu tL = 0ºC

tP – temperatura nastawiona w piecyku.

V Obliczenia przykładowe

Błąd systematyczny:

Δ = Eot – EL

gdzie: Eot –napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia

w otoczeniu, EL - napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia

w lodzie.

np. Δ1 = Eot – EL = 1,412 - 2,112 = -0,7 mV

współczynnik korelacji liniowej r:

≈ 0,998

Według tabeli prawdopodobieństwa, dla n=7 pomiarów i r=0,998 wynika, że jeżeli zmienne są nieskorelowane to prawdopodobieństwo uzyskania współczynnika korelacji większego od 0,998 wynosi 0-1%. Innymi słowy, jest bardzo mało prawdopodobne, że zmienne są nieskorelowane, a więc jest bardzo prawdopodobne że są skorelowane.

Podsumowując, r jest bliskie 1, a więc punkty są skorelowane i są rozłożone wzdłuż pewnej prostej.

Obliczenia metodą funkcji regresji równania analitycznego charakterystyki E= a∙t+b:

e =[yi−(axi+b)]2 = min,  wtedy kiedy: , .

Szukamy prostej:=a+b, gdzie =tP ,a =EL

a = ≈ 0,0408 mV/ºC

b = - a = 8,18 – 0,408∙201,81 ≈ -0,0579 mV

y = 0,0408∙x -0,0579

Dwa dowolne punkty wyznaczające prostą:

y(x=50ºC) = a∙x + b = 0,0408∙50 – 0,0579 ≈ 1,98 mV

y(x=400ºC) = 0,0408∙400 – 0,0579 ≈ 16,27...