Statystyka.pdf

(451 KB) Pobierz
(Microsoft Word - Rozdzia\263 II.doc)
Konstanty Wiatkin, Podstawy matematyki i statystyki dla geografów ,
Instytut Geografii Akademii Bydgoskiej, www.geo.ab.edu.pl
2. ELEMENTY PROBABILISTYKI I STATYSTYKI
MATEMATYCZNEJ
2.1. Podstawowe poj cia rachunku prawdopodobie stwa
Zdarzenie losowe
Zdarzenie nazywa si losowym , je eli przy danych warunkach mo e
si zdarzy lub nie. Mo na przytoczy mnóstwo przykładów zdarze
losowych:
- pojawienie si orła podczas rzucania monety,
- na zaj cia przyszła cała grupa,
- miedzy godzin 13 a 14 zadzwonił telefon, itp.
Podstawow charakterystyk zdarzenia losowego jest jego
prawdopodobie stwo .
Prawdopodobie stwo zdarzenia losowego
Jest to wielko P , która mo e przyjmowa warto ci tylko(!) w
granicach od 0 do 1. Je eli zdarzenie nie mo e zaj nigdy, to takie
zdarzenie nazywamy niemo liwym i jego prawdopodobie stwo P =0.
Je eli przy okre lonych warunkach zdarzenie zachodzi zawsze, to takie
zdarzenie nazywamy pewnym i P =1. W pozostałych przypadkach
mówimy o zdarzeniach losowych i prawdopodobie stwo takiego
zdarzenia le y w granicach 0< P <1. Przy czym, im mniejsze jest
prawdopodobie stwo zdarzenia, tym rzadziej z nim si spotykamy,
natomiast, je eli prawdopodobie stwo jest bli ej ku 1, to zdarzenie
wyst puje odpowiednio cz ciej. Wi c mo na powiedzie , e
prawdopodobie stwo charakteryzuje cz sto zdarzenia losowego.
Podczas rzucania ko ci do gry mog pojawi si liczby: 1,2,3,4,5,6.
Zdarzenie polegaj ce na tym, e pojawi si dowolna z tych liczb jest
zdarzeniem pewnym i jego prawdopodobie stwo jest równe 1.
Zdarzenie, e nie pojawi si adna z tych liczb jest niemo liwym i jego
prawdopodobie stwo wynosi 0. Pojawienie si liczby 4 jest zdarzeniem
losowym i jego prawdopodobie stwo wynosi 1/6, natomiast
prawdopodobie stwo, ze zostanie wyrzucona dowolna liczba oprócz 1
jest do wysokim i wynosi 5/6.
Tu prawdopodobie stwa zdarze losowych zostały obliczone na
podstawie klasycznej definicji prawdopodobie stwa .
78
 
Konstanty Wiatkin, Podstawy matematyki i statystyki dla geografów ,
Instytut Geografii Akademii Bydgoskiej, www.geo.ab.edu.pl
KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIE STWA.
Do wiadczeniem losowym nazywamy realizacj okre lonego
zespołu warunków wraz z góry okre lonym zbiorem wyników.
Poszczególne wyniki do wiadczenia losowego traktujemy jako
zdarzenia elementarne .
Niech dany jest sko czony zbiór jednakowo mo liwych
elementarnych zdarze losowych.
Prawdopodobie stwo pewnego zdarzenia A pod warunkiem, e
ka de elementarne zdarzenie ma tak sam szans realizacji okre lamy
według wzoru:
M
(2.1)
P
(
A
)
=
N
gdzie: M – liczba zdarze elementarnych sprzyjaj cych zdarzeniu A ,
N – liczba wszystkich mo liwych zdarze elementarnych.
W przykładzie z rzucaniem ko ci liczba wszystkich mo liwych
zdarze elementarnych jest równa 6.
Je eli zdarzenie A polega na wyrzucaniu dowolnej liczby, to ilo
zdarze sprzyjaj cych zdarzeniu A tak e wynosi 6, wi c P =1.
Je eli zdarzenie A polega na pojawieniu si konkretnie podanej
liczby, na przykład 2, to M =1 i P =1/6.
Prawdopodobie stwo zdarzenia A polegaj cego na tym, e
wylosowana liczba oka e si mniejsza ni 5 wynosi 2/3, poniewa
liczba zdarze sprzyjaj cych zdarzeniu A wynosi 4 (mo e by
wylosowana dowolna liczba od 1 do 4).
Jednak nie zawsze mo na skorzysta z klasycznej definicji w celu
okre lenia prawdopodobie stwa zdarzenia losowego.
Na przykład, jak mo na korzystaj c ze wzoru (2.1) wyznaczy
prawdopodobie stwo zdarzenia polegaj cego na tym, e strzelec trafi w
dziesi tk ? Znale prawdopodobie stwo w tym przypadku mo na
tylko na podstawie eksperymentu.
Klasyczna definicja prawdopodobie stwa przypuszcza, e ilo
zdarze elementarnych jest sko czona, jednak w praktyce do cz sto
ilo ró nych mo liwych zdarze (wyników do wiadczenia) jest
niesko czona. Oprócz tego, cz sto nie jest mo liwe zdarzenie A
traktowa jako kombinacj zdarze elementarnych. Wi c trzeba
zastosowa inne sposoby okre lania prawdopodobie stwa zdarze
losowych.
79
 
Konstanty Wiatkin, Podstawy matematyki i statystyki dla geografów ,
Instytut Geografii Akademii Bydgoskiej, www.geo.ab.edu.pl
OKRE LENIE WZGL DNEJ CZ STO CI ZDARZENIA
Niech została przeprowadzona seria eksperymentów, przy czym w
ka dym z nich zdarzenie A mo e pojawi si albo nie.
Wtedy mo na wyznaczy wzgl dn cz sto zdarzenia A w danej
serii eksperymentów:
gdzie: m – liczba eksperymentów, w których pojawiło si zdarzenie A
(liczba sukcesów),
n – liczba przeprowadzonych eksperymentów (liczba prób).
Nietrudno zauwa y , e cz sto zdarzenia znajduje si w granicach
od 0 do 1.
Przykłady:
1. Monet rzucono 50 razy, przy czym orzeł został wyrzucony 21 razy.
Wzgl dna cz sto pojawienia si orła w tej serii eksperymentów
wynosi 21/50=0.42
2. Strzelono do celu 24 razy, w dziesi tk trafiono 18 razy. Wzgl dna
cz sto trafienia wynosi 18/24=0.75
Je eli b dziemy powtarza serie eksperymentów zwi kszaj c za
ka dym razem ich ilo , to zauwa ymy, e wzgl dna cz sto zdarzenia
b dzie d yła do pewnej warto ci stałej.
Na przykład, zwi kszaj c ilo rzutów monet zobaczymy, e
wzgl dna cz sto pojawienia si orla b dzie d yła do 0.5. A jest to
przecie prawdopodobie stwem pojawienia si orła według klasycznej
definicji!
Wtedy mo na przypu ci , e graniczna warto wzgl dnej
cz sto ci zdarzenia jest prawdopodobie stwem tego zdarzenia .
Udowodni to TWIERDZENIE BERNOULLIEGO (1713r.), które
jest znane pod hasłem pierwszego prawa wielkich liczb :
„Przy nieograniczonym wzro cie liczby eksperymentów cz sto
W ( A ) pojawienia si zdarzenia A d y stochastycznie 3 do jego
prawdopodobie stwa P ( A ) ”:
W
(
A
)
=
m
(2.2)
n
P
[
W
(
A
)
-
P
(
A
)
<
e
]
¾
¾ ®
®
¥
1
(2.3)
3 D enie w sensie „stochastycznym” oznacza „d enie wg prawdopodo-
bie stwa”, gdy relacja |W ( A ) -P ( A ) |< , gdzie jest dowoln liczb dodatni ,
nie zawsze mo e by spełnion gdy n d y do niesko czono ci.
80
n
35215055.004.png 35215055.005.png
 
Konstanty Wiatkin, Podstawy matematyki i statystyki dla geografów ,
Instytut Geografii Akademii Bydgoskiej, www.geo.ab.edu.pl
St d wynika, e przy dostatecznie du ej ilo ci eksperymentów
ró nica mi dzy cz sto ci zdarzenia W ( A ) a jego
prawdopodobie stwem P ( A ) jest dostatecznie mała. Pozwala to na
przybli one okre lenie prawdopodobie stwa zdarzenia na podstawie
jego wzgl dnej cz sto ci.
Porównuj c klasyczn definicj prawdopodobie stwa z okre leniem
cz sto ci widzimy, e obliczenie prawdopodobie stwa nie wymaga tego,
aby do wiadczenia były przeprowadzone w rzeczywisto ci, natomiast
cz sto wzgl dn obliczamy na podstawie eksperymentów.
STATYSTYCZNE OKRE LENIE PRAWDOPODOBIE STWA
Jak było powiedziano wy ej, nie zawsze mo na okre li
prawdopodobie stwo zdarzenia losowego na podstawie klasycznej
definicji. Z tego powodu w praktycznych rozwi zaniach stosowane jest
statystyczne okre lenie prawdopodobie stwa .
Zgodnie z „prawem wielkich liczb” za prawdopodobie stwo
zdarzenia losowego przyjmuj wzgl dn cz sto jego pojawienia si
przy dostatecznie du ej ilo ci prób. Jak ilo prób przyj za
"dostateczn du ", to zale y od wymaganej dokładno ci. Im wi cej
wykonano eksperymentów, tym dokładniej b dzie okre lone
prawdopodobie stwo zdarzenia losowego.
Np., je eli strzelec trafił w dziesi tk 63 razy ze 100 prób, to za
prawdopodobie stwo tego zdarzenia mo na w przybli eniu przyj
warto 0.63. Natomiast raczej nie mo na uwa a za wiarygodne
prawdopodobie stwo, np. warto 0.33 w przypadku gdy strzelec trafił
w dziesi tk 1 raz w 3 próbach.
2.2 Zmienne losowe, ich charakterystyki i rozkłady
Zmienna losowa jest wielko ci , która w wyniku eksperymentu
przyjmuje warto liczbow zale n od przypadku , a wi c nie daj ca si
ustali przed przeprowadzeniem eksperymentu. Rozró niamy zmienne
losowe skokowe i zmienne losowe ci głe .
Zmienna losowa nazywa si skokow ( dyskretn , o rozkładzie
skokowym ), je eli przyjmuje warto ci liczbowe ze sko czonego lub
przeliczalnego zbioru.
81
Konstanty Wiatkin, Podstawy matematyki i statystyki dla geografów ,
Instytut Geografii Akademii Bydgoskiej, www.geo.ab.edu.pl
Na przykład, liczba słonecznych dni w ci gu tygodnia jest
zmienn losow skokow , poniewa mo e ona przyjmowa warto ci ze
sko czonego zbioru: 0,1,2,3,… ,7.
Zmienna losowa nazywa si ci gł (o rozkładzie ci głym) , je eli
mo e przybiera ka d warto z pewnego przedziału (nawet
niesko czonego). Ilo mo liwych warto ci zmiennej ci głej jest
niesko czona.
Na przykład, mierzona pr dko wiatru jest zmienn ci gł i
mo e przyjmowa dowolne warto ci pomi dzy 0 a Vmax [ m/sek ] .
2.2.1 Zmienne losowe o rozkładzie skokowym
Skokowa zmienna losowa X jest w cało ci zdefiniowana, je eli jest
podana jej funkcja rozkładu prawdopodobie stwa , która okre la
prawdopodobie stwa p i wyst powania poszczególnych warto ci x i
tej zmiennej losowej, gdzie i =1,2,3,…, n (rozpatrujemy tu sko czony
zbiór mo liwych warto ci zmiennej X ).
Funkcja rozkładu prawdopodobie stwa mo e by podana
analitycznie: p =p ( x i ), w postaci tablicy:
x i
x 1
x 2
x 3
…
x n
p i
p 1
p 2
p 3
…
p n
lub w postaci wykresu:
p
x 1 x 2 x 3 … x n X
Rys.2.1. Graficzny sposób okre lenia funkcji rozkładu
prawdopodobie stwa
Poniewa rozpatrywana zmienna losowa skokowa przyjmuje
warto ci tylko ze sko czonego zbioru, to suma prawdopodobie stw
wyst powania poszczególnych jej warto ci jest równa jedno ci:
à =
n
p
=
p
+
p
+
p
+
3
+
p
=
1
(2.4)
i
1
2
3
n
i
1
82
35215055.001.png 35215055.002.png 35215055.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin