Wykład 3

                                          Zmienna losowa ciągła.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określa funkcję ¦(x) nazywana funkcją gęstości, która jest nie ujemna  ( ¦(x)³ 0 ), a pole pomiędzy wykresem tej funkcji a osią OX równa się 1.

Rozkład zmiennej losowej o gęstości w postaci :

                   c dla x' á a: b ñ

¦(x) =  í                                      nazywa się rozkładem jednostajnym

                  0 dla x'  áa ; b ñ

Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym wyraża się wzorem:

                                          O  x £  a

              F(x) = í              c(x – a)   a >  x £ b

                                            x  > b

Wśród rozkładów ciągłych duże znaczenie maja rozkłady:

-         normalny

-         lognormalny

-         Pareto

ROZKŁAD NORMALNY

Rozkłady empiryczne wielu obserwowanych zmiennych są zbliżone swoim kształtem do rozkładu normalnego. Rozkład ten jest stosowany między innymi w mechanice, teorii błędów obserwacji, badań zjawisk ekonomicznych.

O zmiennej losowej X mówimy, że ma rozkład normalny N( m ; d ) nazywamy również rozkładem Gaussa  Laplaee’a i jeżeli funkcja gęstości tego rozkładu ma postać:

                                                        1                                          ( x - m )2

                            ¦(x) =  d Ö 2 P        exp( -               2 d2                             )

dla x'R gdzie m - wartość oczekiwana, średnia a   d- to odchylenie standardowe.

Kształt rozkładu normalnego jest całkowicie określony przez dwa parametry m oraz d

Reguła trzech sigm

1.     Prawdopodobieństwo jest w przedziale

P( m - d < x < m + d ) = 0,68

     2.

P( m - 2 d < x < m + 2 d )

     3.

              P( m - 3 d < x < m + 3 d )