A1 Suplement - Estymatory.pdf

(82 KB) Pobierz
PrzemysławBiecek
Statystyka-laboratorium
3.1Wprowadzeniedoestymacji
Ilemamyczerwonychkrwinekwkrwi?Ilekarpi»yjewodrze?Iletontrzody
chlewnejb¦dziewyprodukowanewprzyszłymroku?Ilebiałychsamochodówje¹-
dziulicamiWarszawy?Ileli±ciro±nienanajwy»szymdrzewieweWrocławiu?W
wi¦kszo±ciprzypadkóws¡tociekawepytania,wwi¦kszo±ciprzypadkówniejeste-
±mywstaniepozna¢prawdziwejodpowiedzinatopytanie,wka»dymprzypadku
mo»emyt¡warto±¢oceni¢.Osposobachocenyinteresuj¡cychnasparametrów
b¦dzieponi»ej.
Zacznijmyjednakodsłownikowychdefinicji
Estymacja ,toproces,któregocelemjestocenanieznanejwarto±ci(funkcji)
parametrunapodstawieobserwacji.
Estymator ,tofunkcjasłu»¡cadoocenynieznanejwarto±ci(funkcji)para-
metru.
Rozmawiaj¡czprowa-
dz¡cym,dobrzeroz-
ró»nia¢estymatorod
warto±ciestymatora.
Warto±¢estymatora ,toocenawarto±ci(funkcji)parametrudladanejob-
serwacji.
Poni»ejomówimykilkasposobówkonstrukcjiestymatorów.Wdalszejcz¦±ci
znajd¡si¦przykładyu»ycia,orazzadaniadowykonania.Wi¦cejinformacjio
estymatorachpojawisi¦nazaj¦ciachpo±wi¦conychregresji.
3.2Konstrukcjaestymatorów
Teoriaestymacjitodziałstatystykizajmuj¡cysi¦dwomazagadnieniami:kon-
strukcj¡estymatoróworazwykazywaniemichwła±ciwo±ci.Niejesttonajwła-
±ciwszemiejsceabyopisywa¢metodykonstrukcjiestymatorów(b¦dzienawy-
kładzie,jestwpolecanychksi¡»kach,poka»emyprostyprzykładdlarozkładu
gamma),osobyzainteresowanepowinnyszuka¢informacjiometodach(poni»ej
najpopularniejsze)
• metodamomentów,
Warto±¢oczekiwana(pierwszymoment)dlazmiennejorozkładzie ( , )
to
E ( X )= ,
drugimoment(wariancja)to
Var ( X )= 2 .
Powy»szewzorymo»naprzekształci¢isprowadzi¢donast¦puj¡cejpostaci
= Var ( X )
E ( X ) ,
= ( E ( X )) 2
Var ( X ) .
1
 
PrzemysławBiecek
Statystyka-laboratorium
Terazmo»emyposłu»y¢si¦znanymiestymatorami±redniejiwariancji,by
wyznaczy¢estymatoryinteresuj¡cychparametrów
b = d
Var ( X )
d E ( X ) ,
b = ( d E ( X )) 2
Var ( X ) .
d
Estymatoryotrzymanet¡metod¡niezawszes¡dobre,dlarozkładugam-
mastosowanieestymatorówwyznaczonychmetod¡momentówjestniepo-
lecane(zadanie:zbadajwariancjeiobci¡»enietakiegoestymatora).Zale-
t¡takichestymatorówjestłatwo±¢ichwyznaczenia.Wznakomitejliczbie
przypadkówwystarczywyznaczydwapierwszemomenty.Bardziejzaawan-
sowan¡metod¡wyznaczaniaestymatorówmetod¡momentówjestnume-
rycznaaproksymacjaparametrówrozkładunabazieczterechpierwszych
momentówzpróby.
• metodanajwi¦kszejwiarogodno±ci,
• metodanajmniejszychkwadratów,
• estymacjaBayesowska,
• metodabootstrapowa.
3.3Wła±ciwo±ciestymatorów
Niejestsztuk¡powiedzie¢,»ezatydzie«wponiedziałekb¦dziesłonecznie.Sztuk¡
jestmie¢racje.
Ka»dymo»ezaproponowa¢jaki±estymator,poni»ejprzedstawiamyzestaw
własno±ci,którepowinienmie¢dobryestymator.To,któryestymatormaktóre
własno±cib¦dziemyazaj¦ciach.Wymienionewłasno±citoniewszystkiemo»liwe
własno±ci,atylkotenajcz¦±ciejopisywane.
• Nieobci¡»ono±¢.Estymator T ( X )jestnieobci¡»onymestymatoremfunkcji
g ( )je»eli
E [ T ( X )]= g ( ) ,
czylije»eliwarto±¢oczekiwanawarto±ciestymatorajestrównawarto±ci
ocenianegoparametru.
• Minimalnawariancja.Estymator T ( X )jestestymatoremominimalnejwa-
riancjiwdanejklasieestymatorów,je»elidlaka»dego manajmniejsz¡
wariancje,spo±ródestymatorówwdanejklasie.
2
 
PrzemysławBiecek
Statystyka-laboratorium
• Dopuszczalno±¢.Estymatorjestdopuszczalnywdanejklasieestymatorów,
je»eliwtejklasieniemaestymatoralepszego(wsensiebł¦du±redniokwa-
dratowego).
proponuje jeszcze
„niezale»no±¢”-je»eli
wynikestymacjinie
zale»yodbadacza.
• Normalno±¢.Estymatorjestnormalny,je»elirozkładwarto±ciestymatora
jestrozkłademnormalnym.Tawłasno±¢przydajesi¦przykonstrukcjiprze-
działówufno±ci.
• Zgodno±¢.Estymatorjestzgodny,je»eliz n !1 estymatorzbiegadopraw-
dziwejwarto±ciocenianegoparametru(wariancjaiobci¡»enieestymatora
zbiegadozera).
3.4Popularneestymatory
Przez x =( x 1 ,...,x n )oznaczmywektorobserwacji.Poni»ejprzedstawiamynaj-
popularniejszeestymatory.
redniaarytmetyczna
redniajestte»pierwszymmomentemzpróby.
¯ x = 1
n
X ( x i ) ,
Wariancja
Estymatorwariancjigdy±redniajestznana
S 2 1 = 1
X
(¯ x − x i ) 2 ,
n
Estymatorwariancjigdy±redniajestnieznana(nieobci¡»ony)
S 2 2 = 1
X
(¯ x − x i ) 2 .
n − 1
Odchyleniestandardowe
ˆ = sqrt ( S 2 )
Odchylenie±rednie
d = 1
n
X | ¯ x − x i |
3
 
PrzemysławBiecek
Statystyka-laboratorium
Współczynnikzmienno±ci
V s = ˆ
¯ x
V d = d
¯ x
Współczynniksko±no±ci
W S = ¯ x − d
ˆ
Współczynnikasymetrii
A = 1
n ˆ 3
X
( x i − ¯ x ) 3
Współczynnikkurtozy
A = 1
n ˆ 4
X ( x i − ¯ x ) 4
3.4.1Miarypozycyjne
Dominana
Najcz¦stszawarto±¢wpróbie
Mediana
Warto±¢±rodkowegoelementu(je»elielementówjestnieparzystaliczba),lub±red-
niejzdwóchelementównajbli»szych±rodka(je»elielementówjestparzystalicz-
ba).
Kwantyl
Kwantylrz¦du p towarto±¢ p n tejstatystykipozycyjnejzpróby.
Percentyle-kwantyleorz¦dachb¦d¡cychwielokrotno±ci¡0.01.
Kwartyle-kwantyleorz¦dachb¦d¡cychwielokrotno±ci¡0.25(s¡trzy,górny
oznaczany Q 3 ,dolnyoznaczany Q 1 i±rodkowy).
Rozst¦p
R = max ( x ) − min ( x )
4
 
PrzemysławBiecek
Statystyka-laboratorium
Rozst¦pkwartylowy
Q 1 , 3 = Q 3 ( x ) − Q 1 ( x )
3.4.2Miaryzale»no±ci
Kowariancja
Cov ( x,y )= 1
n − 1
X
X
( x i y j − ¯ x ¯ y )
i
j
KorelacjaPearsona
Cor ( x,y )= cov ( x,y )
ˆ x ˆ y
KorelacjarangSpearmana
r s =1 − 6 P i r i
n ( n 2 − 1)
gdzie r i -ró»nicapomi¦dzyrang¡elementu x i i y i .
KorelacjarangKendalla
= 2( N + − N − )
n ( n − 1)
gdzie N + liczbazgodnychpar,czylitakichpar( i,j )»e( x i ,x j )s¡wtejsamej
relacji(wi¦kszelubmniejsze)co( y i ,y j ). N − toliczbaparniezgodnych.
5
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin