rzepkoteka_1.3.pdf

Rzepkoteka 2011 v1.3

1. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji,

gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości

rachunku operatorowego.

Rotacja - operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole

wektorowe. Służy do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola.

∮ Edl

 S

rotE = lim

 S 0

rot E =× E =

∣

 i



 x

E x

 j



 y

E y



 z

E z

∣

Dywergencja - operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu

pewne pole skalarne. Służy do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się

źródło pola.

∮ Edl

ΔV

div E = lim

ΔS 0

div E = ∇⋅ E = ∂ E x

∂ y  ∂ E y

∂ y  ∂ E z

∂ z

Gradient pola - pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe.

grad  x, y,z = ∇ x ,y,z = ∂

∂ x i  ∂

∂ y  j  ∂

∂ z k

Laplasjan skalarny - operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu

przyporządkowuje nowe pole skalarne.

Δ = ∇ 2 = ∂ 2 

∂ x 2 i  ∂ 2 

∂ y 2  j  ∂ 2 

∂ z 2 k (def.)

Laplasjan wektorowy - operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu

przyporządkowuje nowe pole wektorowe.

Δ 

∂ y 2  ∂ 2 

∂ z 2  i   ∂ 2 

∂ x 2  ∂ 2 

∂ y 2  ∂ 2 

∂ z 2   j   ∂ 2 

∂ x 2 i  ∂ 2 

∂ y 2  ∂ 2 

∂ z 2  k

Podstawowe tożsamości :

∇⋅ ∇× A = ∇ ∇ A  ( rotacja rotacji)

∇⋅ ∇× A ≡0 ( dywengencja rotacji)

∇⋅∇⋅ f −∇ 2 f = Δ f ( dywengencja gradientu)

∇ 2 × ∇ f = 0

(rotacja gradientu)

S Ed S = v div Ed v

(Ostrogradskiego-Gaussa)

∮ l Ed l = S rot Ed S

(Stokes`a)

E  x ,y,z  = ∂ 2 

∂ x 2  ∂ 2 

2. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjał-

sposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i

Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola.

Pole elektrostatyczne - to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w

której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca: = F ⋅ L )

Prawo Coulomba (1785):

q 1 ⋅ q 2

F 12 =

∣ r ∣ 3 r [N]

r - wektor wodzący

ε 0 = 8,85⋅10 −12

4  0

[ m ]

q 1 i q 2 - ładunki elektryczne

Natężenie pola elektromagnetycznego :

E  x, y,z  =



F q 0  x 0 , y 0, z 0 

q 0

[ m ]

q 0 0 ładunek próbny

q 0 0 ładunek dodatni

Potencjał - miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q 0 od punktu P 0 do P.

 p = − ∞

Edl

 p =

4 0 ⋅ q

r- odległość od ładunku q do P

Sposoby liczenia:

q i

r i

4 0 i =1

a)  p =

4 0 ∫ r dl

b)  p =

r dS

c) Φ p =

4πε 0 S

d)  p =

4 0 V

 V dV

Napięcie elektryczne :

U 12 = ∫ 1

Edl [V]

U 12 =  1 − 2

(wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania)

Prawo Gaussa :

S Ed S = ∑ q

 0

 0

b) postać różniczkowa: div E =  V

 0

∇⋅ E =  V

 0

c) Rozwiązanie równania Poissona:

 V

  x ,y,z  =

4 0 V

dV  e

Równanie Laplace`a :

∇ 2 =0

 =0

Potencjał, a natężenie pola elektrycznego :

E = − ∇ 

d = − E ⋅ d l

3. Dielektryki. Dipol elektryczny, definicja wektora polaryzacji, wektor indukcji elektrycznej,

wartość i jednostka ε 0 , wartość ε w dla różnych materiałów.

Dielektryk - materiał w którym występuje nikła koncentracja ładunków swobodnych, w wyniku

czego bardzo słabo jest przewodzony prąd.

Dielektryk idealny nie przewodzi prądu elektrycznego i ma strukturę składającą się z dipoli

elektrycznych.

Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków + q i - q mechanicznie ze sobą

związanych.

p = q ⋅ l [C ∙ m] (moment elektryczny dipola)

Wektor polaryzacji : p = lim

 V 0

∑ p i

 V

Wektor indukcji elektrycznej ( jego wartość zależy od ładunków swobodnych)

D =  0  w E

D =  0 E  p

 0 =8,85⋅10 −12

[ m ]

próżnia ⇒1,0000

powietrze ⇒1,000532

woda ⇒78,3



Prawo Gaussa (dla dielektryka):

Q Z = − S Pd S

Q Z - ładunek związany

4. Pojemność elektryczna. Sposoby liczenia. Pojemności podstawowych układów. Energia w

kondesatorze.

Pojemność elektryczna - to cecha geometryczna układu, która wyraża zdolność do gromadzenia

ładunków elektrycznych. Zależy tylko od wymiarów geometrycznych i parametrów dielektryka w

układzie.

Równanie Poissona :

a) Δ =  V

C = Q

U [ F ]

Sposób liczenia :

a) z definicji: U =− ∫ Edl E - z prawa Gaussa

b) metodą zmiennych rozłożonych:

(dzielimy cały układ na połączone ze sobą elementarne kondensatory)

– polączenie szeregowe:

C w = i =1

C i

 w = ∫ dC

– połączenie równoległe:

C w = i =1

C i

C w = ∫ dC

Pojemność podstawowych kondensatorów :

a) płaski: C =  0  w S

C = 2πε 0 ε w l

b) walcowy

( R 2

)

R 1

 R 1 R 2



c) sferyczny C =4 0  w

R 1  R 2

Energia zgromadzona w kondensatorze jest elementarną pracą dW potrzebną do przemieszczenia

elementarnego ładunku dq z jednej okładki na drugą. Energia ta jest równa energii pola

elektrycznego wytworzonego w kondensatorze.

dW = U ⋅ dq = q

C dq

C dq = Q 2

2C = 1

= ∫ 0

dW = 0

2 CU 2

Gęstość energii:

W c =

V diel = 1

2  0  w E 2

5. Prąd elektryczny (definicja). Typy prądów. Równanie ciągłości, lokalne i obwodowe prawo

Ohma. I i II prawo Kirchoffa.

Prąd elektryczny - uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Za kierunek prądu umownie

przyjęto kierunek od niższego do wyższego potencjału.

Typy prądów:

I = dQ

a) liniowy:

[ A ]

[ m ]

b) powierzchniowy: I S = y ⋅ V

I = S I d S [ A ]

c) objętościowy:

 pot

Równanie ciągłości :

– postać całkowa: S I d S = − d dS

– postać różniczkowa: divI = − d  v

∇⋅ I = − d  v

Lokalne prawo Ohma :

a) I = E

b) E =⋅ I

 - przenikalność właściwa materiału;  - oporność materiału;

Obwodowe prawo Ohma :

I =  L

S = R

I prawo Kirchoffa : S J d S = 0

(Całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu równa jest 0)

II prawo Kirchoffa : ∮ l Ed l = 0

(Napięcie obliczone po biegunowej zamkniętej jest równe 0)

6. Pole magnetostatyczne. Prawo Grassmanna, Biota- Savarta i prawo przepływu Ampera,

prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, reguła Lenza- rysunki i wzory.

Pole magnetostatyczne jest określone wektorem indukcji magnetycznej.

B = d F 12

[ T ]

Prawo Grassmanna :

d F 12 =

4 I 1 I 2  d l 1 × r 12 × d l 2

[ N ]

∣ r 12 ∣ 3

Siła z jaką jeden przewodnik z prądem oddziałuje na drugi

Prawo Biota – Savurta :

d B =

4 I dl × r

∣ r ∣ 3 [ Wb ]

Określa wartość indukcji magnetycznej w punkcie odległym od r od

elementu z prądem I.

Prawo przepływu Ampera :

∮ L H dl = i =1

I i

Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej

zamkniętej jest równe algebraicznej sumie prądów obejmowanych przez

kontur I.

 0

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: