19_06.pdf

Fundamenty Elektroniki

Napisałem do Ciebie już kilkanaście

listów, a nie opowiedziałem Ci jeszcze

żadnej bajki. Dziś będzie bajka.

Do tej pory dokonywaliśmy zbyt da−

leko idącego uproszczenia i traktowa−

liśmy reaktancje po prostu jako opor−

ność, wyrażoną w omach. Musimy to

jakoś uściślić i wprowadzić ten nie−

szczęsny kąt przesunięcia.

Potrzebne będą do tego liczby zespo−

lone. Prawdopodobnie spotkałeś się

już z określeniami: liczba urojona, jed−

nostka urojona, itp. Już sama taka na−

zwa może przyprawić o niestrawność

lub wysypkę na plecach.

Tymczasem sprawa nie jest wcale ta−

ka trudna, jak ci się wydaje.

Spróbuję ci to wyjaśnić tak, jak tłuma−

czyłem swemu synowi.

Liczby zespolone

Bajeczka o liczbach

Przed trzema tysiącami lat, na wybrzeżu

Morza Śródziemnego, a właściwie na wysep−

ce oddalonej o kilometr od lądu leżało miasto

Tyr. Było to główne miasto Fenicjan, starożyt−

nych żeglarzy i kupców. Fenicjanie byli naro−

dem bardzo przedsiębiorczym, założyli liczne

kolonie na wybrzeżu Morza Śródziemnego,

Morza Czerwonego, podobno docierali nawet

na Bałtyk. Szczycili się wysoką kulturą i pozio−

mem wiedzy. Głównym źródłem bogactwa

Fenicjan był handel.

Ich statki przemierzały morza przewożąc

najróżniejsze towary. Jeden z takich statków

woził owce z Palestyny do różnych porto−

wych miast śródziemnomorskich. Podczas

długich morskich podróży dwóch młodych

kupców fenickich zabawiało się rozrywkami

umysłowymi (nie pamiętam już ich imion, bo

to było strasznie dawno). Ćwiczyli oni swoje

umiejętności rachunkowe. Przydawało im się

to przy zakupie i sprzedaży owiec. A zadanie

mieli niełatwe. W tamtych czasach nikt nie

słyszał jeszcze o cyfrach rzymskich, ani tym

bardziej o cyfrach arabskich, nierzadko można

było spotkać ludzi, którzy liczyli następująco:

raz, dwa, trzy, mnóstwo.

Fenicjanie, jako jedni z pierwszych, w miej−

sce niewygodnych znaków hieroglificznych,

wprowadzili pismo alfabetyczne. Wprowadzi−

li też system zapisu liczb. Wcześniej zapisy−

wano liczby słowami. Fenicjanie zapisywali

małe liczby pionowymi kreskami; zapis || ||| |||

oznaczał osiem. Liczbę dziesięć zapisywali

poziomą kreską – a liczbę dwadzieścia zna−

kiem podobnym do litery H. Na przykład licz−

bę siedemdziesiąt zapisywali −HHH. Liczbę

sto zapisywali znakiem podobnym do π . Nie

znali liczby tysiąc. Liczbę tysiąc określali jako

dziesięć setek.

Nasi dwaj młodzi Fenicjanie ćwiczyli się

w dodawaniu i odejmowaniu. Nawet dobrze

sobie z tym radzili. Powstał jednak między ni−

mi spór. Zastanawiali się, czy można odjąć

liczbę większą od mniejszej. Jeden twierdził

stanowczo: nie można. Drugi przypuszczał, że

powinno to być możliwe, tylko trzeba wyob−

razić sobie ‘liczby odwrotne’. Pierwszy sta−

nowczo się sprzeciwiał: „Czy widziałeś kie−

dyś ‘odwrotne owce’? Czy mając na statku

sześćdziesiąt pięć owiec, możesz sprzedać

sycylijczykom siedemdziesiąt? To jest bez

sensu!” Według niego po prostu nie można

było wykonać takiego działania. Drugi opono−

wał: „Nie myśl o owcach. Pomyśl o liczbach.

A może są takie liczby ‘odwrotne’?” Pierwszy

nadal stanowczo twierdził, że takich liczb, po−

dobnie jak ‘odwrotnych owiec’, po prostu nie

ma i nie ma najmniejszego sensu zawracać

sobie tym głowy.

rzymskim też nie ma liczb ujemnych, nie ma

też zera, w zasadzie nie ma też ułamków.

Wspomniani dwaj młodzi Fenicjanie toczyli

spór, czy istnieją „odwrotne liczby’. Pierwszy

uważał, że liczba naprawdę istnieje tylko wte−

dy, jeśli można pokazać przykład jej zastoso−

wania. Ponieważ nie widział możliwości za−

stosowania ‘odwrotnych liczb’ twierdził, że

takowe nie istnieją.

Drugi gotów był dopuścić istnienie ‘od−

wrotnych liczb’ tylko dlatego, że ich wprowa−

dzenie pozwoliłoby bez ograniczeń przepro−

wadzać odejmowanie dowolnych, znanych

mu liczb. Dla niego liczba istniała, jeśli jej uży−

cie pasowało do wcześniej znanych zasad,

i jeśli całość tworzyła jakiś zwarty system.

A jak ty sądzisz? Co to znaczy, że liczba istnieje?

Czy też uważasz, że liczba istnieje tylko

wtedy, gdy ma jakieś powiązania z rzeczywis−

tością? Czy raczej gotów jesteś uznać, że licz−

ba istnieje, jeśli należy do jakiejś grupy, i wraz

z innymi liczbami i działaniami na nich tworzy

jakiś spójny, niesprzeczny system?

Zastanów się chwilę nad tym!

Dziś wiemy, że istnieją liczby ‘odwrotne’ –

przecież na każdym kroku spotykamy się

z liczbami ujemnymi. Sprawa jest prosta –

liczby te istnieją nie tylko jako abstrakcyjne

pojęcia, ale przypisujemy im konkretną treść,

na przykład wartość temperatury w zimowy,

mroźny dzień. Potrafiliśmy więc pogodzić oba

poglądy – znaleźliśmy praktyczny sens liczb

‘odwrotnych’ czyli ujemnych.

Ale idźmy dalej. Ci dwaj starożytni Fenicja−

nie mieli także kłopoty z dzieleniem. Czasami

udawało się bez kłopotu podzielić dwie liczby:

na przykład wspomniane sześćdziesiąt pięć

dorodnych owiec potrafili podzielić równo po−

między pięciu kupców sycylijskich. Ale już

przy sześćdziesięciu siedmiu owcach, dwie

pozostawały bez przydziału. Na ten temat

również zawzięcie dyskutowali: czy istnieje

liczba, będąca wynikiem dzielenia sześćdzie−

sięciu siedmiu na pięć części.

A co ty o tym sądzisz?

Uśmiechasz się z politowaniem. Ale pamię−

taj, że było to trzy tysiące lat temu. W tam−

tych czasach znano tylko liczby, które dziś na−

zywany naturalnymi. Nie znano pojęcia zera.

Zero i liczby ujemne wprowadzono do użytku

w Indiach dopiero ponad tysiąc sześćset lat

później. Nasz dziesiątkowy, pozycyjny sys−

tem liczenia i cyfry (nazywane dziś arabskimi)

przywędrowały z Indii za pośrednictwem Ara−

bów i rozpowszechniły się w Europie dopiero

w drugiej połowie naszego tysiąclecia!

Wcześniej przez setki lat stosowany był rzym−

ski system liczbowy. Zauważ, że w systemie

E LEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 7/97

Listy od Piotra

Znów spór związany był z nieznajomością

pojęcia liczb, zwanych dziś ułamkowymi.

Ty chyba nie masz wątpliwości, że liczby

ułamkowe istnieją.

Idźmy jeszcze dalej.

Gdyby wspomniani Fenicjanie jeszcze głę−

biej wchodzili z problemy liczb i działań na

nich, to może zauważyliby, że dla niektórych

liczb (np. 1, 4, 9, 16, 25) istnieją liczby, które

pomnożone przez siebie dają pierwotną licz−

bę. Wprowadziliby pojęcie pierwiastka

(kwadratowego) z liczby. Wtedy znów mogli−

by dyskutować, czy dla liczb 2, 3, 5, 6, 7, itd,

istnieją liczby będące ich pierwiastkami. Za−

pewne znów pierwszy z nich twierdziłby sta−

nowczo, że takich liczb nie ma, bo w żaden

sposób nie wiążą się one z rzeczywistością

(czyli z owcami).

Ponad tysiąc lat po czasach opisywanych

Fenicjan, w Grecji rozwinęła się geometria.

Uczeni greccy potrafili sobie wyobrazić poję−

cie liczby ułamkowej, jako stosunku dwóch

liczb (naturalnych).

Ale już Grecy wiedzieli, że jeśli mamy

kwadrat o boku dowolnej długości a, to nie is−

tnieją dwie liczby, których stosunek wyrażał−

by długość przekątnej tego kwadratu. A prze−

cież przekątna kwadratu istnieje, można ją

narysować. Niewątpliwie ma też jakąś dłu−

gość. Tymczasem długości tej nie można by−

ło wyrazić za pomocą jakiejkolwiek znanej

wtedy liczby (ułamkowej). Potrzebna była do

tego liczba, która pomnożona przez samą sie−

bie, dawałaby liczbę dwa, a liczby tej nie da

się przedstawić w postaci ułamka. Dziś po−

wiemy, że liczba pierwiastek z dwóch jest

liczbą niewymierną.

Podobnie było z liczbą, wyrażającą stosu−

nek długości okręgu do jego średnicy. Tej licz−

by również nie można zapisać w postaci

ułamka – w postaci ułamka można podać tyl−

ko jej przybliżoną wartość.

Czy to znaczy, że nie istnieją potrzebne

liczby?

Ależ istnieją – przecież chodzi tu o pier−

wiastek (drugiego stopnia) z dwóch i o słynną

liczbę π ! Ale znów cię zapytam, co to znaczy,

że liczby te istnieją? Po pierwsze istnieją jako

pojęcia abstrakcyjne, wymyślone na podsta−

wie teoretycznych rozważań. Po drugie ist−

nieją, bo mają praktyczny sens – pierwsza

jest związana z każdym kwadratem, druga –

na przykład z okręgiem, kołem i kulą.

Podsumujmy.

Najpierw zajmowaliśmy się liczbami natu−

ralnymi. Wraz z działaniem dodawania liczby

te tworzyły zwartą grupę – można było bez

Rys. 1.

odpowiada jednak na osi liczbowej pewien

konkretny punkt. Leży on na osi gdzieś po−

między punktami, oznaczonymi 2 i 3.

Możemy to uogólnić: dla dowolnej liczby

nieujemnej a istnieje jej pierwiastek kwadra−

towy, czyli liczba b, która pomnożona przez

samą siebie, da liczbę a. Wszystko jasne!

A czy istnieje pierwiastek kwadratowy

z liczb ujemnych, na przykład z liczby −1?

Pewnie odpowiesz, że nie! Rzeczywiście,

wygląda na to, że nie ma, bo przecież (−1) 2 =

1, i 1 2 = 1! A więc nie ma liczby, która pomno−

żona przez samą siebie da w wyniku −1...

Ha! Mam cię! Nieprzypadkowo opowiada−

łem ci o tych Fenicjanach. Czy przypadkiem

nie naśladujesz pierwszego Fenicjanina, który

twierdził, że nie ma „odwrotnych liczb”, po−

dobnie jak nie ma „odwrotnych owiec”???

Teraz ty mówisz dokładnie to samo: nie ma

pierwiastka z −1, bo każda liczba podniesiona

do kwadratu daje liczbę dodatnią. Na osi licz−

bowej nie ma punktu odpowiadającego takiej

liczbie.

A dlaczego, niczym pijany płotu, trzymasz

się wyobrażenia liczby, jako punktu na osi

liczbowej? Zachowujesz się jak tamten Feni−

cjanin, który nie potrafił oddzielić pojęcia licz−

by od owiec, którymi handlował.

No więc jak to jest, czy naprawdę nie ist−

nieje taka liczba, jak ?

Popraw się! Od czasów opisywanych Feni−

cjan minęło już trzy tysiące lat.

No właśnie... A może jednak istnieje liczba,

która podniesiona do kwadratu, daje −1...

Co to za liczba? To po prostu , inaczej nie

potrafimy jej zapisać. Liczbę zapisywaliśmy

w przybliżeniu jako 2,645751311; wiemy, że

odpowiada jej pewien punkt na osi liczbowej.

Tymczasem liczby nie możemy zapisać

w postaci jakiegoś ułamka, zresztą intuicyjnie

czujemy, że musi ona mieć jakiś związek z licz−

bą 1, a nie jakimkolwiek ułamkiem. Ale częś−

ciowo masz rację: rzeczywiście, liczbie nie

odpowiada żaden punkt naszej osi liczbowej.

A więc może jednak ona nie istnieje...

Nie bądź dziecinny! Nie łącz liczb z owcami!

Liczba na pewno istnieje, tylko ty na ra−

zie nie potrafisz znaleźć jej intuicyjnej analo−

gii, czy reprezentacji.

Rusz głową!

Jeśli już widzisz związek z opornością, a właś−

ciwie impedancją, to szczerze ci gratuluję!

Jeśli jeszcze nie, to poczekaj do następ−

nego listu.

ograniczeń wykonywać działanie dodawania.

Ale by przeprowadzać bez ograniczeń ode−

jmowanie, należało wprowadzić pojęcie zera

i liczb całkowitych ujemnych. Dla bezproble−

mowego przeprowadzania dzielenia, trzeba

było wprowadzić liczby ułamkowe. Działanie

znane jako pierwiastkowanie zmusiło do

wprowadzenia liczb niewymiernych.

W sumie wszystkie wymienione liczby nale−

żą do zbioru tak zwanych liczb rzeczywistych.

Na liczbach rzeczywistych możemy prze−

prowadzać operacje dodawania, odejmowa−

nia, mnożenia, dzielenia. Nie ma problemów.

W szkole, od pierwszych klas podstawów−

ki pojęcie liczby obrazuje się nie przy pomocy

owiec, tylko z wykorzystaniem osi liczbowej.

Na osi tej mamy liczby całkowite, w tym zero

i liczbę 1 – zobacz rysunek 1.

Mamy też liczby ułamkowe – niejako „wy−

pełniają” one oś pomiędzy liczbami całkowi−

tymi. Na osi liczb rzeczywistych znajduje się

nieskończenie wiele punktów. Jeden z nich

odpowiada wspomnianemu pierwiastkowi

z dwóch, inny punkt reprezentuje liczbę

− 1

I oto doszliśmy do kresu naszej bajeczki.

Teraz pytanie kontrolne. Czy jesteś przeko−

nany, że dla dowolnej liczby dodatniej istnieje

jej pierwiastek?

Nie ma wątpliwości, istnieje – nawet wte−

dy gdy chodzi o liczbę niewymierną! Może−

my na przykład mówić o czymś takim jak

pierwiastek z liczby

− 1

– nie ma tu żadnego

problemu.

Ale zajmijmy się tym nieco głębiej.

Weźmy liczbę 7. Dla liczby 7, wynikiem

pierwiastkowania jest liczba niewymierna

– inaczej, prościej nie możemy tego zapisać.

Jeśli szybko sięgniesz po kalkulator i wyko−

nasz obliczenie, otrzymasz na wyświetlaczu licz−

bę 2,645751311. Ale jest to tylko przybliżenie,

podane w postaci ułamka dziesiętnego z do−

kładnością do dziewięciu cyfr po przecinku.

„Prawdziwa” liczba nie da się przedsta−

wić w postaci żadnego ułamka, właśnie dla−

tego, że jest liczbą niewymierną. Liczbie

− 1

Piiotr Góreckii

grafiika: Małłgorzata Zackiiewiicz

c.d. w EdW 8/97

E LEKTRONIKA DLA WSZYSTKICH 7/97

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: