Politechnika Szczecińska
Wydział Informatyki
Wprowadzenie do automatyki cyfrowej
Modelowanie i analiza układów dynamicznych z czasem dyskretnym
Tomasz Nabrzeski, Paweł Zołotuchin
Kierunek: Informatyka
Rok studiów: III
Grupa: I-34 (zespół 1)
Zadanie 1 – wpływ metody oraz czasu próbkowania na błedy odwzorowania własności obiektu ciągłego
a) analiza własności obiektu dyskretnego dla różnych metod dyskretyzacji
Wartości parametrów:
Ts = 1 [s]
k = 1
s1 = -0.2 + 0.8j
s2 = -0.2 - 0.8j
W celu przebadania wpływu różnych metod wybrano metody: tustin, forward, backward, zoh i imp.
Aby uzyskać transmitancję dyskretną dla metod forward i backward należy dokonać podstawień:
dla metody forward:
po uproszczeniu otrzymujemy
dla danych powyżej otrzymaliśmy
analogicznie dla metody backward stosujemy podstawienia i uzyskujemy:
Charakterystyki skokowe:
Charakterystyki impulsowe:
Charakterystyki Bodego:
Charakterystyki Nyquist’a:
Mapy zer i biegunów:
Wnioski:
1) Najlepiej z odwzorowywaniem poradziły sobie metody Tustin, zoh i imp, dla których wykresy charakterystyki skokowej, impulsowej, Bodego są zbliżone do siebie. Troszke gorzej wypadły metody backward i forward.
2) Dla obiektu badanego metodą backward jako jedynego bieguny mieszką się w kole jednostkowym
3) W charakterystyce Nyquista bardzo dobrze wypadła metoda Tustin, wykresy pokrywaja się prawie idealnie, również dobrze wypadła metoda imp. Pozostałe obiekty wykazują dużo większe odchylenia od wykresów dla obiektu ciągłego.
4) Schodkowość wykresów jest wynikiem dyskretyzacji modelu ciągłego w model dyskretny, od czasu próbkowania zależy wielkość tych schodków jak i charakterystyki
b) Analiza własności obiektu dyskretnego dla różnych czasów próbkowania dla metody Tustina.
Przeprowadzamy analizę obiektów dla czasów próbkowania 0.1 ,0.5 , 1 i 2 sekundy
Charakterystyki skokowe
Charakterystyki impulsowe
Charakterystyki amplitudowa-fazowe
Charakterystyki logarytmiczne amplitudowe-fazowe
Wykresy zer i biegunów
1) Im mniejszy czas próbkowania tym dokładniejsze odwzorowanie obiektu
analogowego.
2) Wraz ze wzrostem Ts charakterystyki impulsowa i skokowa stają się bardziej
„kwadratowe” charakterystyka logarytmicznie fazowa-amplitudowa się
zniekształca, a bieguny oddalają się od Osi liczb rzeczywistych
3) Zmiana współczynnika Ts nie wpływa na postać charakterystyk amplitudowa-
fazowych.
c) Analityczne wyznaczenia optymalnego czasu próbkowania i przeprowadzenia analizy.
w=((-0.2+0.8i)*(-0.2-0.8i))^(1/2)
w=0.8246
B=(-(-0.2+0.8i)-(-0.2-0.8i))/(2*w)
b=0.2425
Ts=2*pi/(20*w*(1-b*b)^(1/2))
Ts=0.3927
Optymalny czas próbkowania wynosi Ts=0.3927.
Zadanie 2 - Dyskretyzacja modelu silnika DC metodą backward & tustin
Metoda backward
Transmitancja silnika wygląda następująco:
Po podstawieniu przykładowych danych z zadania, aby ułatwić żmudne obliczenia otrzymaliśmy:
Dla
R = 1
L = 0.1
kE = 10
kM = 10
I = 0.1
B = 0.3
aby zdyskretyzować metodą backward podstawiamy
po przekształceniach uzyskujemy
wykorzystując zasadę o przesunięciu szeregu w lewo równania różnicowe wyglądają następująco
na podstawie drugiego równania wyznaczamy p(k+2)
model w simulinku wygląda następująco
Dla czasów próbkowania TS=0.1 TS=0.01 TS=0.005 otrzymaliśmy następujące wykresy
Metoda Tustin
aby zdyskretyzować podstawiamy
- metoda Tustin lepiej odwzorywuje model naszego silnika, jest dużo bardziej dokładna niż backward
- przy okazji możemy zauważyć na powyższych wykresach jaki wpływ ma czas próbkowania dla jednej jak i drugiej metody
2
tomfan