Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
Liczby zespolone.
1. Elementarne pojęcie liczby zespolonej.
Liczbą zespoloną nazywamy zbiór liczb rzeczywistych w postaci z=x+iy gdzie i2= -1.
x=Re(z) - część rzeczywista
y=Im(z) - część urojona
2. Działania na zbiorze liczb zespolonych.
2.1 Suma liczb zespolonych.
(x+iy)±(x'+iy')=x±x'+i(y±y')
(2-i)+(1+3i)=3+2i
2.2 Iloczyn liczb zespolonych.
(x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(xy'+x'y)
(1+i)2(1-3i)=(1+2i-1)(1-3i)=6+2i
2.3 Dzielenie liczb zespolonych.
Uwaga: aby podzielić dwie liczby zespolone należy pomnożyć je przez liczbę sprzężoną z dzielną
z*zsp=x2+y2
3. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
Dla każdej liczby zespolonej istnieje punkt o współrzędnych (x, y). Obrazem liczby zespolonej jest wektor w=[x, y].
Modułem liczby zespolonej nazywamy długość wektora w.
Argumentem liczby zespolonej nazywamy kąt j zawarty między wektorem w a osią X.
arg z=j -P £ j £ P
Argumentem liczby z nazywamy q=j + 2kP kÎ<-¥, ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... ,¥>.
Arg z = arg z + 2kP
4. Potęga, wzory MOIVRE'a.
4.1 Własności modułu i argumentu liczby zespolonej.
5. Pierwiastek liczby zespolonej.
Założenie:
z=?
k = 0, 1, 2, ... , n-1.
, dla k=0 pierwiastek główny.
6. Postać wykładnicza liczby zespolonej (EULER'a).
- postać wykładnicza liczby zespolonej.
Korzystając z postaci wykładniczej obliczyć
Graficzne rozwiązanie zadania.
Funkcja zmiennej zespolonej.
f(z)=
- część rzeczywista funkcji f(z)
- część urojona funkcji f(z)
Funkcję f(z) nazywamy analityczną jeżeli posiada pochodną, tzn. istnieje funkcja
Przykłady.
1.
2. f(z)=z* (z* - funkcja sprzężona)
dla Dx=0
dla Dy=0
Funkcja f(z*) nie jest analityczna.
3.
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
Logarytm funkcji zmiennej zespolonej
r – moduł liczby zespolonej z
Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej
z=x+iy
dz=dx+idy
d(uv)=(du)v+u(dv)
dla r=1
- 5 -
jadzia66