Arystoteles (382 –322 p. n. e.) w dziele Fizyka twierdzi, że ciało sztywne porusza się w płynie (ośrodku ciągłym) pod wpływem sił działających na jego tylną część. Zjawiska oporu nie dostrzega.
Archimedes (287 - 212 p. n. e.) ustala pierwsze zależności opisujące równowagę cieczy.
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) po raz pierwszy dostrzega zjawisko oporu na jaki napotyka ciało sztywne poruszające się w ośrodku płynnym.
Stevin (1548 – 1620), Galileusz (1564 – 1642) i Pascal (1623 – 1662) zamykają hydrostatykę. Stevin podał zasadę zesztywnienia, Galileusz i Pascal jako pierwsi zastosowali zasadę przesunięć możliwych. Pascal definiuje ciśnienie jako wielkość skalarną.
Izaak Newton (1642 – 1727) traktuje opór jako wynik uderzeń cząstek płynu o przednią część poruszającego się ciała. Uzależnia opór tylko od jego powierzchni czołowej.
Leonard Euler (1707 – 1783) w oparciu o równania dynamiki Newtona podaje ogólne równanie ruchu płynu doskonałego.
Daniel Bernoulli (1700 – 1783) podaje równanie energii stanowiące postulat jej niezniszczalności w przepływie płynu doskonałego.
D'Alambert (1717 – 1783) wykazuje, że wypadkowa sił oddziałujących podczas opływu ciała sztywnego przez płyn doskonały nie może być różna od zera.
Lagrange (1736 – 1813) wprowadza analizę wędrowną.
Helmholtz (1821 – 1894) wprowadza teorię ruchu wirowego.
Stokes (1819 –1903) i Navier (1785 – 1840) podają niezależnie równanie ruchu płynu rzeczywistego.
Reynolds w oparciu o badania Hagena, w latach 1876 – 1883 wprowadza klasyfikację przepływów.
Żukowski (1847 – 1921) publikuje teorię cyrkulacji objaśniającą powstawanie siły nośnej na podstawie równań ruchu płynu doskonałego.
Prandtl wprowadza teorię warstwy przyściennej, uzasadniając możliwość powstania podczas opływu ciała sztywnego wypadkowej różnej od zera.
W Polsce w XIX wieku: Cz. Witoszyński, M. Smoluchowski.
W1/2
PŁYN – ciała niezdolne do zachowania kształtu; są to ciecze i gazy.
Cechy płynów:
1. Łatwość zmiany wzajemnego położenia elementów płynu względem siebie. W ciałach stałych jest to możliwe jedynie pod działaniem dużych sił zewnętrznych.
2. Płyny przybierają kształt zbiornika, w którym się znajdują. Ciecze tworzą w zbiorniku powierzchnię swobodna, natomiast gazy wypełniają całkowicie jego objętość.
3. Gazy mają znacznie większą ściśliwość w stosunku do cieczy, tzn. zdolność do zmiany objętości pod wpływem sił zewnętrznych.
ELEMENT PŁYNU – najmniejsza objętość, o wymiarach nieskończenie małych w stosunku do całej masy płynu, jednocześnie duża w stosunku do dróg swobodnych cząsteczek podczas ich bezładnego ruchu, zawierająca dostateczną liczbę cząsteczek upoważniającą do stosowania „uśredniania” (metody statystyczne), co stanowi istotę założenia ciągłości ośrodka płynnego.
Postulat ten można przyjąć bez dowodu: w jednym mikrometrze sześciennym (10-18 m3) mieści się w warunkach normalnych 27* 104 cząsteczek, a droga swobodnej cząsteczki wynosi 9,3*10-5mm.
PŁYNY RZECZYWISTE – podstawowe cechy pozwalające odróżnić płyn rzeczywisty od doskonałego to:
- lepkość, rozumiana jako zdolność płynu do przeniesienia naprężeń stycznych; cecha ta ujawnia się tylko wtedy, kiedy poszczególne warstwy płynu przemieszczają się względem siebie,
- ściśliwość.
MODELE PŁYNÓW – możemy rozpatrywać następujące modele płynów:
- płyn doskonały (nielepki i nieściśliwy),
- płyn lepki nieściśliwy,
- płyn nielepki ściśliwy,
- płyn rzeczywisty (lepki i ściśliwy.
Gęstość definiowana jest jako:
Zależność ta jest słuszna dla płynów jednorodnych (tu wystarczy zapis różnicowy oraz dla płynów niejednorodnych. Jednostką gęstości jest kg/m3.
W1/3
Miarą lepkości jest współczynnik lepkości dynamicznej, który występuje jako współczynnik proporcjonalności we wzorze Newtona na naprężenia styczne:
Wyrażenie dv/dn oznacza gradient prędkości w kierunku normalnym do kierunku ruchu.
Dwie cechy cieczy: gęstość i lepkość dynamiczną można zastąpić ich ilorazem, nazywanym współczynnikiem lepkości kinematycznej n:
Siły działające w płynach:
1. Masowe (objętościowe): siły grawitacji, siły bezwładności (d'Alamberta). Siły te odniesione do jednostki masy mają wymiar przyspieszenia).
2. Powierzchniowe, które mogą być normalne lub styczne do rozpatrywanych powierzchni. W zagadnieniach statyki znaczenie mają tylko siły normalne. Płyny mają znikomą zdolność do przenoszenia naprężeń rozciągających, stąd praktyczne znaczenie mają tylko siły ściskające. Siły powierzchniowe odniesione do jednostki powierzchni mają wymiar ciśnienia.
Polem skalarowym lub wektorowym nazywamy pewien obszar przestrzeni, w którym każdemu punktowi w każdej chwili przypisany jest pewien skalar lub wektor określony ciągłą i różniczkowalną funkcją położenia i czasu:
W zależności od wielkości fizycznej, jaką reprezentuje wektor lub skalar, mówimy o polu danej wielkości fizycznej.
Jeżeli dana wielkość fizyczna jest funkcją tylko położenia, tzn. nie zależy od czasu, mówimy, że pole jest stacjonarne lub ustalone. Oznacza to,że wartość wektora lub skalara w każdym punkcie pola może być inna, ale w tym punkcie nie zmienia się w czasie. Jest to ważna własność przy doborze techniki pomiarowej.
Jeżeli wartość wektora lub skalara w każdym punkcie pola jest identyczna, to mówimy o polu jednorodnym. W zależności od tego, czy wartość wektora lub skalara zmienia się w czasie mówimy o polu jednorodnym ustalonym lub nieustalonym.
W hydromechanice podstawowymi polami wektorowymi są pola prędkości, przyspieszeń i sił.
Linie prądu – linie pola mające te właściwość, że we wszystkich swych punktach (w danej chwili) są styczne do odpowiednich wektorów prędkości.
Powierzchnie prądu – są to powierzchnie styczne w każdym punkcie pola do wektorów prędkości.
Rurki prądu – są to powierzchnie prądu dające w przekroju poprzecznym kontur zamknięty.
Struga – zespół linii prądu wypełniających rurkę prądu, której powierzchnia przekroju poprzecznego jest na tyle mała, że rozkład prędkości w tym przekroju można uważać za jednorodny.
Strumień - zespół linii prądu wypełniających rurkę prądu, której powierzchnia przekroju poprzecznego jest na tyle duża, że rozkład prędkości w tym przekroju nie jest jednorodny.
Rys. W1/1. Linie prądu w ruchu ustalonym i nieustalonym
W ruchu ustalonym linie prądu zachowują swój kształt; wynika z tego, że w tym przypadku linie prądu są jednocześnie torami elementów płynu.
W ruchu nieustalonym linie prądu mają charakter chwilowy. W danym punkcie pola może powstać lokalna zmiana wektora prędkości, w związku z czym powstaną nowe chwilowe linie prądu.
W ruchu nieustalonym element płynu I, po czasie dt1,2 , w czasie którego przesunie się o elementarną drogę 1-2 stycznie do wektora prędkości V1 (do chwilowej linii prądu t1), zostanie z punktu 2 przesunięty już nie z prędkością V2 , ale z nową prędkością
Powtarzając to rozumowanie dochodzimy do wniosku, że w ruchu nieustalonym tor elementu płynu jest obwiednią chwilowych linii prądu
Z definicji linii prądu wynika styczność wektora prędkości V (u, v, w) do odpowiedniego elementu drogi ds(dx, dy, dz); z warunku równoległości dwóch wektorów wynika, że:
Jest to równanie toru elementu płynu. W przypadku ruchu ustalonego równanie toru i równanie linii prądu mają postać identyczną.
Wydatkiem objętościowym strugi będziemy nazywali iloczyn prędkości przez pole przekroju w płaszczyźnie prostopadłej do wektora prędkości.
Gdzie n oznacza wersor powierzchni S. „Zwrot” powierzchni jest określony zwrotem normalnej; przyjmuje się, że zwrot jest dodatni, jeżeli jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości (wydatek musi być dodatni).
Rys.W1/2. Wydatek objętościowy strugi
Wydatek strumienia określimy jako
Gdzie: u, v, w – składowe wektora V w kierunkach osi x, y, z,
dS.x , dS.y , dS.z , - odpowiednie rzuty powierzchni S na kierunki x, y, z.
Wydatek strumienia nazywany jest również strumieniem wektora. Wyrażenie
W1/6
Nazywa się natężeniem pola wektorowego. Jest ono w danym punkcie pola równe rzutowi wektora na na normalną do elementu powierzchni dS.
W polu skalarowym L = f(x, y, z, t) w danej chwili czasowej istnieją zawsze pewne powierzchnie L = const. Mogą to być powierzchnie równych ciśnień, temperatur, gęstości itp. Można wyodrębnić pewną wielkość stanowiącą nowe pole, charakteryzująca przejście od jednej stałej wartości L = C1 do L = C2. Najkrtszą drogą jest przejście po normalnej n. Wyrażenie
Rys.W1/3. Gradient skalara
Nazywane jest gradientem skalara. Gradient jest wektorem, którego kierunek okręla orientację powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu przyjmuje się zwykle zgodnie z kierunkiem wzrostu skalara.
W polu ustalonym, a w danej chwili również w polu nieustalonym
Jeżeli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds. to
Oznacza to, że
Czyli Gx = ¶F/¶x, Gy = ¶F/¶y, Gz = ¶F/¶z i ostatecznie
W1/7
Rzut gradientu na dowolny kierunek jest pochodną cząstkową skalara w tym kierunku.
Każde pole skalarne można zamienić na pole wektorowe gradientów. Operacja odwrotna jest możliwa tylko w przypadku pól potencjalnych. Jeżeli pole wektorowe W daje się przekształcić w pole skalara k takie, że
To wówczas pole jest potencjalne, a jego potencjałem jest funkcja położenia F. Prawdziwe będą wówczas zależności:
Oraz
Sens fizyczny potencjału jest najbardziej oczywisty w polu sił –przedstawia pracę siły na drodze ds.
Warunkiem, aby pole było potencjalne, muszą być spełnione równości:
Albo
Z powyższego wynika, że warunkiem istnienia potencjału pola wektorowego jest
rot V = 0.
Przyspieszenia w metodzie Eulera (analiza lokalna)
Przy zastosowaniu metody Eulera (historia zmian parametrów kinematycznych w określonym punkcie przestrzeni) pole prędkości stanowi funkcję położenia i czasu:
I odpowiednio: u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t); w = w(x, y, z, t).
Przyspieszenie w metodzie Eulera określa się jako pochodną prędkości względem czasu:
W1/8
i odpowiednio:
Pochodna ta obejmuje całość zmian prędkości jakie dotyczą elementu płynu znajdującego się w danej chwili t w punkcie przestrzeni określonym współrzędnymi x,y,z. Ostatni człon równania, tzw. pochodna lokalna reprezentuje zmiany prędkości zachodzące w czasie w danym punkcie przestrzeni. Pozostałe człony określają tzw. pochodną konwekcyjną określającą zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z z punktu x,y,z do nieskończenie blisko położonego punktu x+dx, y+dy, z+dz. W polu stacjonarnym pochodna onwekcyjna jest równa zeru.
Ciśnienie można uznać za wielkość skalarną, jeżeli naprężenia normalne w każdym punkcie przestrzeni wypełnionej płynem będącym w stanie spoczynku nie zależą od orientacji powierzchni ograniczającej dany obszar.
Rys.W1/4. Siły działające na czworościan wypełniony płynem
Z warunku równowagi sił działających w kierunku osi y na powierzchnie czworościanu przedstawionego na rysunku wynika zależność:
W1/9-W2/1
skąd:
Jeżeli OB®0, to czworościan OABC ma wymiary elementu płynu i jednocześnie składowa sił masowych Y nie jest nieskończenie duża, to py®p co w granicy oznacza, że py...
mateo745