Algebra.pdf

(319 KB) Pobierz
246201295 UNPDF
Politechnika Łódzka
Elementy algebry liniowej
i geometrii analitycznej
– rozszerzony konspekt
El»bietaKotlicka
Bo»ennaSzkopi«ska
WitoldWalas
Łód¹ 2009
Wst¦p
Niniejsza publikacja przeznaczona jest dla słuchaczy pierwszego roku studiów uczelni technicznych. Stanowi
ona konspekt wykładu z przedmiotu ”Algebra liniowa” prowadzonego na Wydziale Elektrotechniki, Elektroniki,
Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej przez wykładowców Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Materiał zawarty w konspekcie dostosowany jest do aktualnego programu studiów i obejmuje on:
• ogólne struktury algebry,
• ciało liczb zespolonych,
• macierze i wyznaczniki,
• układy równa« liniowych,
• elementy geometrii analitycznej,
• przestrzenie wektorowe i przekształcenia liniowe.
Od czytelnika nie wymaga si¦ znajomo±ci innych kursów akademickich, cho¢ zapoznanie z podstawowymi
poj¦ciami logiki, teorii mnogo±ci i analizy matematycznej mo»e znacznie ułatwi¢ przyswojenie zawartego tu
materiału.
Konspekt zawiera jedynie definicje, twierdzenia i uwagi. Nie umie±cili±my w nim przykładów ilustruj¡cych
omawiane poj¦cia, jak równie» ¢wicze« i zada«, które znajd¡ si¦ dopiero w nast¦pnej, rozszerzonej edycji.
Z tego powodu, aby ugruntowa¢ przedstawion¡ tu wiedz¦, zalecane jest korzystanie z dodatkowych zbiorów
zada« z algebry. Zapraszamy równie» do korzystania z materiałów umieszczonych na platformie dydaktycznej
Autorzy uprzejmie prosz¡ o przesyłanie wszelkich uwag i komentarzy dotycz¡cych prezentowanej publikacji.
El»bietaKotlicka
Bo»ennaSzkopi«ska
WitoldWalas
elzbieta.kotlicka@p.lodz.pl
bszkopin@onet.pl
witold walas@op.pl
246201295.001.png
Wykaz oznacze«
Symbole logiczne:
^ – symbol koniunkcji
_ – symbol alternatywy
) – symbol implikacji
, – symbol równowa»no±ci
W – symbol kwantyfikatora szczegółowego (egzystencjonalnego)
W
x ' ( x ) – czyt. istniejextaki,»ezachodzi' ( x )
Wyró»nione zbiory:
; – zbiór pusty
N= { 1 , 2 , 3 ,... } – zbiór liczb naturalnych
N 0 =N [{ 0 }
Z= { ..., − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,... } – zbiór liczb całkowitych
Q= { l m : l,m 2 Z , m 6 = 0 } – zbiór liczb wymiernych
R– zbiór liczb rzeczywistych
C– zbiór liczb zespolonych
( x,y ) – przedział otwarty wR
[ x,y ] – przedział domkni¦ty wR
[ x,y ) – przedział lewostronnie domkni¦ty
( x,y ] – przedział prawostronnie domkni¦ty
Oznaczenia stosowane w teorii mnogo±ci:
A,B,X,Y,... – typowe oznaczenia zbiorów
a 2 X – czyt. anale»ydozbioruX lub ajestelementemzbioruX
a 2 X – czyt. anienale»ydozbioruX
X Y – czyt. zbiórXjestpodzbioremzbioruY
X = Y – czyt. zbioryXiYs¡równe
X [ Y – suma zbiorów X i Y
X \ Y – iloczyn (cz¦±¢ wspólna) zbiorów X i Y
X \ Y – ró»nica zbiorów X i Y
{ a,b } – para nieuporz¡dkowana: zbiór, którego elementami s¡ a i b
( a,b ) – para uporz¡dkowana 5
X × Y – iloczyn kartezja«ski zbiorów X i Y 5
X n = X × . . . × X
| {z }
n razy
n ! – czyt. nsilnia
( a n ) n 2 N – ci¡g o wyrazie ogólnym a n
f,g,h,... – typowe oznaczenia funkcji
f ( x ) – warto±¢ funkcji f w punkcie x
f : X ! Y – czyt. funkcjafprzekształcazbiórXwzbiórY
f : x 7! y – czyt. funkcjafelementowixprzyporz¡dkowujeelementy
C ([0 , 1]) – zbiór funkcji ci¡głych działaj¡cych z przedziału [0 , 1] wR
C k ([0 , 1]) – zbiór funkcji działaj¡cych z przedziału [0 , 1] wRi posiadaj¡cych ci¡gł¡ k -t¡ pochodn¡
V – symbol kwantyfikatora ogólnego
V
x ' ( x ) – czyt. dlaka»degoxzachodzi' ( x )
246201295.002.png
C 1 ([0 , 1]) – zbiór funkcji działaj¡cych z przedziału [0 , 1] wRi posiadaj¡cych pochodne wszystkich rz¦dów
Oznaczenia stosowane w strukturach algebraicznych:
( A, ) – struktura algebraiczna z działaniem wewn¦trznym 5
e – element neutralny w danej strukturze algebraicznej 5
a − 1 – element odwrotny do elementu a w danej strukturze algebraicznej
5
( K, , ) – ciało K z działaniami wewn¦trznymi i 6
(C , + , · ) – ciało liczb zespolonych z dodawaniem i mno»eniem
6
i – jednostka urojona 7
Re z , Im z – cz¦±¢ rzeczywista i urojona liczby zespolonej z 7
z – sprz¦»enie liczby zespolonej z 8
| z | – moduł liczby zespolonej z 8
arg z (Arg z ) – argument (argument główny) liczby zespolonej z 8
M m,n ( X ) – zbiór wszystkich macierzy wymiaru m × n o wyrazach ze zbioru X 10
A =[ a ij ] ,B =[ b ij ] ,... – typowe oznaczenia macierzy
I n – macierz jednostkowa stopnia n 12
A T – macierz transponowana do macierzy A 13
det A – wyznacznik macierzy A 14 17
A − 1 – macierz odwrotna do macierzy A 16
R ( A ) – rz¡d macierzy A 19
P,Q,..., ( a 1 ,a 2 ,a 3 ) , ( b 1 ,b 2 ,b 3 ) ,... – typowe oznaczenia punktów w przestrzeniR
3
a , b ,..., [ a 1 ,a 2 ,...,a n ] , [ b 1 ,b 2 ,...,b n ] , . . . – typowe oznaczenia wektorów w przestrzeniR
n
0 = [0 , 0 ,..., 0] – wektor zerowy w przestrzeniR
n
| a | – długo±¢ wektora a 21
i , j , k – wersory w przestrzeniR
3 20
a b – iloczyn skalarny wektorów a i b
21
a × b – iloczyn wektorowy wektorów a i b
22
( a , b , c ) – iloczyn mieszany wektorów a , b i c
22
a k b – czyt. wektory a i b s¡równoległe
a ? b – czyt. wektory a i b s¡prostopadłe
( X,K, +) – przestrze« X nad ciałem K 25
1 x 1 + 2 x 2 + ... + n x n – liniowa kombinacja wektorów x 1 , x 2 ,..., x n 26
dim X – wymiar przestrzeni wektorowej X 27
e 1 , e 2 ,..., e n – baza kanoniczna przestrzeniR
n
M ( ' ) – macierz przekształcenia liniowego ' 29
246201295.003.png
E. Kotlicka, B. Szkopi«ska, W. Walas, Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej — konspekt
5
1. Podstawowe struktury algebraiczne, ciała,
ciało liczb zespolonych
1.1. Działania wewn¦trzne, grupy
Zbiory oznaczamy zwykle du»yli literami np. A,X,K . Fakt, »e a jest elementem zbioru A zapisujemy jako
a 2 A . Je»eli a 2 A i b 2 B , to par¡ uporz¡dkowan¡ o poprzedniku a i nast¦pniku b nazywamy zbiór
( a,b ) de = {{ a } , { a,b }} .
Dwie pary ( a,b ) i ( x,y ) s¡ sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = x i b = y . Zbiór wszystkich par
uporz¡dkowanych o poprzedniku z A i nast¦pniku z B nazywamy iloczynem kartezja«skim zbiorów A i
B i oznaczamy przez A × B . Mamy wi¦c
A × B de = { ( a,b ) : a 2 A ^ b 2 B } .
Definicja 1.1. Niech A b¦dzie niepustym zbiorem.
• Ka»d¡ funkcj¦
: A × A ! A
nazywamy działaniem (wewn¦trznym) w zbiorze A .
• Je»eli jest działaniem wewn¦trznym w A , to uporz¡dkowan¡ par¦ ( A, ) nazywamy struktur¡ alge-
braiczn¡ .
Definicja 1.2. Zbiór G wraz z działaniem : G × G ! G i wyró»nionym elementem e 2 G nazywamy grup¡ ,
je»eli spełnione s¡ warunki:
a) działanie jest ł¡czne, czyli
V
a ( b c ) = ( a b ) c,
a,b,c 2 G
b) dla dowolnego a 2 G zachodzi
a e = a,
c) dla dowolnego a 2 G istnieje b 2 G takie, »e
a b = e.
Je»eli G jest grup¡, to istnieje dokładnie jeden element e maj¡cy własno±¢ (b) — nazywamy go elementem
neutralnym grupy G . Zachodzi przy tym równo±¢
a e = e a.
Wykazuje si¦ równie», »e dla ka»dego a 2 G istnieje dokładnie jeden element b 2 G taki, »e zachodzi warunek
c) — nazywamy go elementem odwrotnym do a i oznaczamy przez a − 1 . Wówczas
a a − 1 = a − 1 a = e.
Definicja 1.3. Grup¦ G nazywamy grup¡ abelow¡ ( przemienn¡ ), je»eli dla dowolnych a,b 2 G mamy
a b = b a.
Uwaga 1.4. Mo»na łatwo pokaza¢, »e zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i zerem (jak równie» zbiór liczb
całkowitych z mno»eniem i jedynk¡) nie stanowi grupy.
Definicja 1.5. Niech G b¦dzie grup¡ z działaniem . Niepusty podzbiór H G nazywamy podgrup¡ grupy
G , je»eli H z działaniem te» jest grup¡.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin