Walser - Fraktale.pdf

(1352 KB) Pobierz
Microsoft Word - 06Fraktale
Hans Walser
Fraktale
44771462.002.png
Fraktale
ii
Inhalt
1 Was ist ein Fraktal?.........................................................................................................1
2 Fragen .............................................................................................................................2
2.1 Wie viele Kurven hat die Gotthardstraße ? ...............................................................2
2.2 Hat es in der Schweiz mehr Berge oder mehr Seen ? ...............................................2
2.3 Wie lang ist die Küste Britanniens ? ........................................................................2
3 Die Schneeflocke von Helge von K OCH ...........................................................................2
4 Fraktale im Alltag ............................................................................................................4
4.1 Fraktale in Natur und Technik .................................................................................4
4.2 Ein Beispiel aus der Kunst.......................................................................................6
4.3 Bilder mit Zufallscharakter.......................................................................................7
4.4 Auswirkungen auf Ausbildung und Unterricht ?......................................................8
5 Wege ins Unendliche ......................................................................................................8
5.1 Geometrische Reihen ...............................................................................................8
5.2 Figuren mit mehreren Wegen ins Unendliche..........................................................9
5.3 Das S IERPINSKI -Dreieck .........................................................................................10
5.3.1 Das P ASCAL -Dreieck ....................................................................................12
5.3.2 Dali ..............................................................................................................13
6 Fraktale Dimensionen ...................................................................................................13
6.1 Halbe Längen.........................................................................................................13
6.2 Dimension des S IERPINSKI -Dreieckes.....................................................................15
6.3 Dimension der K OCH -Kurve ..................................................................................16
6.4 Allgemeine Formel.................................................................................................16
7 Die Herstellung von Fraktalen.......................................................................................17
7.1 Unvollständige und angefangene Fraktale..............................................................17
7.2 Quadratfraktal ........................................................................................................17
7.3 Der Zugang über komplexe Zahlen. Die M ANDELBROT -Menge ..............................19
Literatur............................................................................................................................21
Modul für die Vorlesung: Mathematik für die Sekundarstufe 1
2002 Erste Fassung
2004 Grafische Überarbeitung, kleine Erweiterungen
last modified: 17. Juni 2003
Hans Walser
Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel
www.math.unibas.ch/~walser
hwalser@bluewin.ch
Fraktale
1
1 Was ist ein Fraktal?
Lokalisieren Sie den Ausschnitt im Gesamtbild. Wie groß ist der Vergrößerungsfaktor des
Ausschnittes?
Gesamtbild
Ausschnitt
a)
b)
c)
Was ist ein Fraktal?
44771462.003.png
Fraktale
2
2 Fragen
2.1 Wie viele Kurven hat die Gotthardstraße ?
Diese Frage wurde vom bekannten Kartographen Eduard I MHOF für die alte Tremola-
Straße aufgeworfen. Auf der Strecke "Passo del S'Gottardo - Airolo" finden wir:
Karte
Anzahl Kurven
1:100 000
Blatt 42, Oberwallis
50
1:50 000
Blatt 265, Nufenenpass
81
1:25 000
Foglio 1251, Val Bedretto
104
1:1
Realität
?
Kommen bei jeder Vergrößerung neue Kurven zum Vorschein?
2.2 Hat es in der Schweiz mehr Berge oder mehr Seen ?
Diese Frage verlangt eine Definition von "Berg" und "See". Welches relative Höhenma-
ximum soll noch als "Berg", welches relative Höhenminimum noch als "See" erfasst wer-
den? Ein Quadratmeter gepflügter Ackerboden ist - bei entsprechender Vergrößerung -
eine wilde Gebirgslandschaft mit einem eigenen hydrografischen System und kann durch-
aus der Alpenregion ähnlich sein. Diese Ähnlichkeit eines Teils mit dem Ganzen - die
sogenannte Selbstähnlichkeit - ist ein wesentliches Merkmal eines Fraktals.
2.3 Wie lang ist die Küste Britanniens ?
Dies ist eine "klassische" Frage in der Geschichte der Fraktale. Auf einer groben Karte
mit großem Maßstab sind nur die wichtigsten Ein- und Ausbuchtungen eingezeichnet. Die
auf Grund einer solchen Karte gemessene und mit dem Maßstabs-Faktor umgerechnete
Küstenlänge ist daher kleiner als die Küstenlänge, die sich auf Grund einer feineren Karte
mit mehr eingezeichneten Ein- und Ausbuchtungen ergibt. Auch die "natürliche" Küsten-
linie ist nicht klar definierbar, selbst bei stillstehendem Wasser. Jede Felsnase verlängert
die Küstenlinie, jeder halb im Wasser liegende Stein am Fuße dieser Felsnase fügt einen
weiteren Bogen hinzu, der Moosfetzen auf diesem Stein kann die Küstenlinie nochmals
verlängern.
3 Die Schneeflocke von Helge von K OCH
Dieses Beispiel ist eine geometrische Modellierung des durch die Frage nach der Länge
der Küstenlinie aufgeworfenen Problems. Die Kernidee besteht darin, jedes gerade Kü-
stenstück mit einer dreiecksförmigen Ausbuchtung in der Mitte zu versehen.
Ausbuchtung in der Mitte
44771462.004.png 44771462.005.png
Fraktale
3
Startet man mit einem gleichseitigen Dreieck, erhalten wir durch die Ausbuchtungen der
ersten Generation einen Sechszack-Stern, durch die Ausbuchtungen der zweiten Generati-
on eine bereits kompliziertere Kurve usw..
Genesis der K OCH schen Schneeflocke
Durch Iteration dieses Ausbuchtungsprozesses erhält man schließlich die K OCH sche
Schneeflocke.
Die K OCH sche Schneeflocke
Wie groß ist nun der Umfang dieser Figur? Bei jedem Ausbuchtungsschritt wird der Um-
fang um einen Drittel vergrößert; er muss also mit jedem Ausbuchtungsschritt mit dem
Faktor 3 multipliziert werden. Daher ist der Umfang der K OCH schen Schneeflocke un-
endlich. Hingegen lässt sich leicht ausrechnen, dass der Flächeninhalt endlich ist.
Die Selbstähnlichkeit findet sich bei Teilstücken des Randes der K OCH schen Schneeflok-
ke.
44771462.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin